y"+4y'+3y=0, t0=1

Resolução da equação diferencial homogênea
Equação característica:
x² + 4 x + 3 = 0
Delta: 4² - 4.3 = 4
x = (-4 +/- 2)/2
x' = -3 e x'' = -1
Aqui, com o o delta é >0, a solução geral da equação diferencial terá o formato:
y = c1.e^(r1.x) + c2.e^(r2.x)
Onde r1 e r2 são as respectivas raízes da equação característica.
Logo, a solução geral será
y = c1.e^(-3x) + c2.e^(-1x)
Usando a condição inicial y(0) = 1, podemos encontrar uma constante:
y(0) = c1.e^(-3.0) + c2.e^(-1.0) = c1 + c2 = 1
Logo, c1 = 1 - c2
Substituindo na solução geral:
y = (1-c2).e^(-3x) + c2.e^(-1x)

OBS: c2 não pode ser encontrada pois falta valores de condição inicial para a primeira derivada, logo, essa resposta abrange um conjunto de infinitas soluções, variando-se o valor de c2

Podemos resolver o seguinte

\(\lambda^2+4\lambda+3=0\)

Resolvendo por bhaskara:

\(x = {-4 \pm \sqrt{4^2-4.1.3} \over 2.1}\\ x = {-4 \pm 2 \over 2}\\ x=-1 \:e-3\)

Ou seja, duas raízes reais e diferentes.

Para esse caso, a solução geral é dada por:

\(y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{-\lambda_2 x}\)

Assim:

\(y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{3 x}\)

Para \(x(0)\) (ou \(t(0)=1\)):

\(y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{3 x}\\ y(0)=C_1e^{0}+C_2e^{3 .0}=1\\ C_1+C_2=1\\ C_2=1-C1\)

Assim:

\(y(x)=C_1e^{-x}+(1-C_1)e^{3 x}\\ y(x)=C_1e^{-x}-C_1e^{-x}+e^{3 x}\\ \boxed{y(x)=e^{3 x} }\)