Espaço vetorial ( QUEM SERÁ O PRIMEIRO A RESOLVER?)

Você conseguiu a resolução?

Mostre que o conjunto das matrizes 2X2 com entradas reais munido da adição usual de matrizes e da multiplicação por um real é Em Espaço Vetorial Real. Envie o exercício na forma de arquivo.

Seja a matriz genérica tal que  A = i+j, temos:

A =

 = 1+1 = 2

 = 2+1 = 3

 = 1+2 = 3

 = 2+2 = 4

A =

Seja a matriz genérica tal que  B = i-j, temos:

B =

 = 1-1 = 0

 = 2-1 = 1

 = 1-2 = -1

 = 2-2 = 0

B=

A+B =  +

B +A=  

Tomando  A =  e      com

 = 

 =  

Agora tomando B =  e    com

 B

 =

 =  =

Portanto a soma de duas matrizes 2x2 continua sendo uma matriz 2x2 e que o produto um escalar  real por uma matriz 2x2 continua sendo uma matriz 2x2.

Logo são válidas a demais propriedades abaixo.

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K.

Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. O conjunto

H = {x=(x₁,x₂,…,x_n)^t  Rⁿ: A.x = ö}

é um subespaço (hiperplano) de Rⁿ.

Exemplo: Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, S o subespaço de V das matrizes simétricas, isto é, as matrizes da forma:

e T o subespaço de V das matrizes anti-simétricas, que têm a forma geral:

Assim V=ST, pois V=S+T e ST={ö}.

Isto significa que toda matriz quadrada de números reais de ordem 2, pode ser decomposta, de forma única, na soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Se M é uma matriz quadrada arbitrária de ordem 2, então é possível obter uma matriz simétrica M' e uma matriz anti-simétrica M", dadas por:

M' = ½(M + M^t)   e   M" = ½(M - M^t)

de modo que existe uma decomposição única para M, isto é, M=M'+M".

Exercício: Seja F={f:RR} o espaço vetorial de funções, F" o subespaço de F das funções pares e F' o subespaço de F das funções ímpares, isto é,

F' = { fF: f(-x)=-f(x), xR }
F" = { fF: f(-x)= f(x), xR }

Então, F=F"F', pois F"+F'=F e F"F'={0}.

Sugestão: Se f=f(x)F, escreva f(x)=g(x)+h(x) e mostre que g(x)=½(f(x)+f(-x)) e h(x)=½(f(x)-f(-x)). Mostre depois que g=g(x) é par e que h=h(x) é ímpar.