Alguém sabe regra da cadeia derivadas ?

Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena ( d y d x ) {\displaystyle \left({\dfrac {dy}{dx}}\right)} .

A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.

A regra da cadeia afirma que

( f ∘ g ) ′ ( x ) = ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) , {\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\,}

que em sua forma sucinta é escrita como: ( f ∘ g ) ′ = ( f ′ ∘ g ) ⋅ g ′ {\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'\,\!}

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

d f d x = d f d g ⋅ d g d x {\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

Exemplos

• Exemplo 1: Considere f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 3 {\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}} . Temos que f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} onde g ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle g(x)=x^{2}+1} e h ( g ( x ) ) = ( g ( x ) ) 3 . {\displaystyle h(g(x))=(g(x))^{3}.} Então,

f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,}	= 3 ( x 2 + 1 ) 2 ( 2 x ) {\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}
	= 6 x ( x 2 + 1 ) 2 . {\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}

• Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:

f ( x ) = sin ⁡ ( x 2 ) , {\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}

pode ser escrita como f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} com h ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle h(x)=\sin x} e g ( x ) = x 2 {\displaystyle g(x)=x^{2}} . A regra da cadeia afirma que

f ′ ( x ) = 2 x cos ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}

desde que h ′ ( g ( x ) ) = cos ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})} e g ′ ( x ) = 2 x {\displaystyle g'(x)=2x} .

Regra da cadeia para várias variáveis

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} onde x = g ( t ) {\displaystyle x=g(t)} e y = h ( t ) {\displaystyle y=h(t)} , então

∂ z ∂ t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t {\displaystyle {\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}} ^[1]

Suponha que cada função de z = f ( u , v ) {\displaystyle z=f(u,v)} é uma função de duas variáveis tais que u = h ( x , y ) {\displaystyle u=h(x,y)} e v = g ( x , y ) {\displaystyle v=g(x,y)} , e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x {\displaystyle {\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}}

∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y {\displaystyle {\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}}

Se considerarmos r → = ( u , v ) {\displaystyle {\vec {r}}=(u,v)} acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de f {\displaystyle f} e a derivada de r → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}} :

∂ f ∂ x = ∇ → f ⋅ ∂ r → ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\vec {\nabla }}f\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x}}}

Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes Jacobianas de duas funções:

∂ ( z 1 , … , z m ) ∂ ( x 1 , … , x p ) = ∂ ( z 1 , … , z m ) ∂ ( y 1 , … , y n ) ∂ ( y 1 , … , y n ) ∂ ( x 1 , … , x p ) {\displaystyle {\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}={\frac {\partial (z_{1},\ldots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{p})}}}

A regra da cadeia é uma fórmula para calcular a derivada da composição de duas ou mais funções . Isto é, se f e g são funções, então a regra da cadeia exprime o derivado da sua composição f ∘ g (a função que mapas x para f ( g ( x ))) em termos dos derivados de f e g e o produto de funções da seguinte forma:

A regra da cadeia pode ser escrita na notação de Leibniz da seguinte maneira. Se uma variável z depende da variável y , que depende da variável x , de modo que y e z são variáveis ​​dependentes , então z , via variável intermediária de y , depende de x também. A regra da cadeia então declara:

As duas versões da regra da cadeia estão relacionadas;

A regra da cadeia é uma fórmula para calcular a derivada da composição de duas ou mais funções . Isto é, se f e g são funções, então a regra da cadeia exprime o derivado da sua composição f ∘ g (a função que mapas x para f ( g ( x ))) em termos dos derivados de f e g e o produto de funções da seguinte forma:

A regra da cadeia pode ser escrita na notação de Leibniz da seguinte maneira. Se uma variável z depende da variável y , que depende da variável x , de modo que y e z são variáveis ​​dependentes , então z , via variável intermediária de y , depende de x também. A regra da cadeia então declara:

As duas versões da regra da cadeia estão relacionadas;