integral

resolve a parte de cima com o u e du, depois a parte de baixo 

A integral do enunciado pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int { (1+\tan x ) e^x \over \cos x } \partial x = \int (1+\tan x ) e^x \sec x\, \partial x\)

\(\Longrightarrow \int { (1+\tan x ) e^x \over \cos x } \partial x = \int e^x \sec x\, \partial x + \int e^x \sec x\tan x \, \partial x\)   \((I)\)

Para a integral \(\int e^x \sec x\tan x \, \partial x\), será utilizado o método por partes. Sendo \(u=e^x\) e \(\partial v=\sec x \tan x \, \partial x\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {\partial u \over \partial x }= {\partial \over \partial x } (e^x) \\ v= \int \sec x \tan x \, \partial x \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {\partial u \over \partial x }= e^x \\ v= \sec x \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} \partial u = e^x \, \partial x \\ v= \sec x \end{matrix} \right.\)

Portanto, pelo método por partes, será utilizada a seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u \, \partial v = uv - \int v \, \partial u\)

\(\Longrightarrow \int e^x \sec x \tan x \, \partial x = e^x \sec x - \int e^x \sec x \, \partial x\)    \((II)\)

Substituindo a equação \((II)\) em \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int { (1+\tan x ) e^x \over \cos x } \partial x = \int e^x \sec x\, \partial x + \color {Red} { \int e^x \sec x\tan x \, \partial x }\)

\(\Longrightarrow \int { (1+\tan x ) e^x \over \cos x } \partial x = \int e^x \sec x\, \partial x + \color {Red} { e^x \sec x - \int e^x \sec x \, \partial x }\)

\(\Longrightarrow \int { (1+\tan x ) e^x \over \cos x } \partial x = e^x \sec x \)

Portanto, o resultado da integral indefinida do enunciado é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int { (1+\tan x ) e^x \over \cos x } \partial x = e^x \sec x +c $}\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.