Livro de Guidorizzi, Volume 1 Seção 12.8

Neste exercício, será resolvida a integral no caso \(m \ne n\) e \(m = n\).

1. No caso \(m \ne n\), a resolução da integral é:

\(\Longrightarrow \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x = \int \limits_{-\pi}^{\pi}{1 \over 2}\Big [ \cos(nx-mx) - \cos(nx+mx) \Big ] \, \partial x\)

                                                   \( = {1 \over 2} \int \limits_{-\pi}^{\pi}\Big [ \cos\Big ((n-m)x\Big) - \cos\Big ((n+m)x \Big ) \Big ] \, \partial x\)

                                                   \( = {1 \over 2} \Big [{1 \over n-m } \sin\Big ((n-m)x\Big) - {1 \over n+m}\sin\Big ((n+m)x \Big ) \Big ] \bigg |_{-\pi}^{\pi} \)

                          \( = {1 \over 2} \Big [{1 \over n-m } \sin\Big ((n-m)\pi\Big) - {1 \over n+m}\sin\Big ((n+m) \pi \Big ) \Big ] -{1 \over 2} \Big [{1 \over n-m } \sin\Big (-(n-m)\pi\Big) - {1 \over n+m}\sin\Big (-(n+m)\pi \Big ) \Big ]\)

Como \(m\) e \(n\) são números naturais, os valores de \((n-m)\) e \((n+m)\) também são naturais. Portanto, o valor de \(\sin(k\pi)\) é zero para todos os valores naturais de \(k\). Ou seja, \(\sin(k\pi)=0\).

Portanto, o resultado da integral no caso \(m \ne n\) é:

\(\Longrightarrow \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x = {1 \over 2} \Big [{1 \over n-m } \cdot 0 - {1 \over n+m}\cdot 0 \Big ] -{1 \over 2} \Big [{1 \over n-m }\cdot 0 - {1 \over n+m}\cdot 0 \Big ]\)

\(\Longrightarrow \underline { \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x=0 }\)

2. No caso \(m =n\), a resolução da integral é:

\(\Longrightarrow \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x = \int \limits_{-\pi}^{\pi}{1 \over 2}\Big [ \cos(nx-mx) - \cos(nx+mx) \Big ] \, \partial x\)

                                                \( = \int \limits_{-\pi}^{\pi}{1 \over 2}\Big [ \cos(mx-mx) - \cos(mx+mx) \Big ] \, \partial x\)

                                                \( = \int \limits_{-\pi}^{\pi}{1 \over 2}\Big [ 1- \cos(2mx) \Big ] \, \partial x\)

                                                \( = {1 \over 2}\Big [ x- {1 \over 2m} \sin(2mx) \Big ] \bigg | _{-\pi}^{\pi}\)

                                                \( = {1 \over 2}\Big [ \pi- {1 \over 2m} \sin(2m\pi) \Big ] - {1 \over 2}\Big [ -\pi- {1 \over 2m} \sin(-2m\pi) \Big ]\)

Analogamente ao caso anterior, tem-se \(\sin(k\pi)=0\) para todos os valores naturais de \(k\). Portanto, o resultado da integral no caso \(m=n\) é:

\(\Longrightarrow \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x = {1 \over 2}\Big [ \pi- {1 \over 2m} \cdot 0 \Big ] - {1 \over 2}\Big [- \pi- {1 \over 2m} \cdot 0 \Big ]\)

\(\Longrightarrow \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x = {1 \over 2}\Big [ \pi \Big ] - {1 \over 2}\Big [- \pi \Big ]\)

\(\Longrightarrow \underline { \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) \sin (mx) \, \partial x = \pi }\)

pq eu quero ser premium, desculpa