o produto de dois números, não negativos, é 288. quais são os números para que a soma do segundo com o dobro do primeiro seja mínima?

Primeiramente vamos organizar as informações que temos e as que podemos inferir do enunciado :
 I) Sejam x o primeiro número, y o segundo e S a soma a ser minimizada.
 A equação que queremos minimizar é :  S= 2x + y 
II) O produtos dos dois números ( positivos) é 288 :  xy=288

Podemos escrever , então, a equação I como sendo : 
S=2x +288/x ( Domínio viável : x>0 );

Primeiramente vamos achar os pontos críticos (Derivando S e igualando a 0) : 
2 - 288/x²=0  --> x² = 144 --> x= +-12 (como x é positivo -12 não convém) 

Usando o teste da derivada primeira , percebemos que 12 é um ponto de mínimo para a função dada.Portanto , nossos dois números são :
x=12 e y=24

Deve-se achar o valor de dois números \(a\) e \(b\) positivos. A equação à qual eles devem atender é:

\(\Longrightarrow ab=288\)    \((I)\)

Além disso, a soma do segundo com o dobro do primeiro deve ser mínima. Ou seja:

\(\Longrightarrow b+2a=K\)     \((II)\)

O valor de \(K\) deve ser o mínimo possível.

Reescrevendo a equação \((II)\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow b=K-2a\)      \((III)\)

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((I)\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow ab=288\)

\(\Longrightarrow a(K-2a)=288\)

\(\Longrightarrow K-2a = {288 \over a}\)

\(\Longrightarrow K = {288 \over a}+2a\)       \((IV)\)

Agora, a constante \(K\) está em função de apenas um valor. Com base na equação \((IV)\), a variação de \(K\) em relação a \(a\) é:

\(\Longrightarrow {\partial K \over \partial a} = {\partial \over \partial a}({288 \over a}+2a)\)

\(\Longrightarrow {\partial K \over \partial a} =-{288 \over a^2}+2\)

Portanto, os pontos críticos da equação \((IV)\) é:

\(\Longrightarrow {\partial K \over \partial a} =0\)

\(\Longrightarrow -{288 \over a^2}+2 =0\)

\(\Longrightarrow 2 ={288 \over a^2}\)

\(\Longrightarrow a^2 ={288 \over 2}\)

\(\Longrightarrow a^2 =144\)

\(\Longrightarrow a =\pm 12\)

Pelo enunciado, os valores de \(a\) e \(b\) devem ser positivos. Portanto, o valor de \(a\) deve ser de:

\(\Longrightarrow \underline { a =12 }\)

A natureza do ponto crítico \(a=12\) é:

\(\Longrightarrow {\partial^2 K \over \partial a^2} \bigg |_{a=12}=​​ {\partial \over \partial a}({\partial K \over \partial a})\)

\(\Longrightarrow {\partial^2 K \over \partial a^2} \bigg |_{a=12} =​​ {\partial \over \partial a}(-{288 \over a^2}+2)\)

\(\Longrightarrow {\partial^2 K \over \partial a^2} \bigg |_{a=12} =​​ 2\cdot {288 \over a^3}\)

\(\Longrightarrow {\partial^2 K \over \partial a^2} \bigg |_{a=12} =​​ 2\cdot {288 \over 12^3}>0 \)      \(\mathrm {(Ponto \,de \, minimo)}\)

Foi provado que o ponto crítico \(a=12\) é um ponto de mínimo. Portanto, \(a=12\) de fato minimiza o valor de \(K\).

Pela equação \((I)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow ab=288\)

\(\Longrightarrow b={288 \over a}\)

\(\Longrightarrow b={288 \over 12}\)

\(\Longrightarrow \underline { b=24}\)

Portanto, a resposta do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} a=12 \\ b=24 \end{matrix} \right. $}\)