URGENTE! Geometria Analitica - Superficies

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Nesse exercício vamos determinar a superfície gerada pela rotação da curva \(C\) ao redor da reta \(r\).

Perceba que a curva \(C\) é uma elipse de equação

\({(x-1)^2\over1^2}+{(z+2)^2\over3^2}=1\)

sobre o plano \(y=2\) e a reta \(r\) é uma reta de equação

\(x=1\)

sobre o mesmo plano \(y=2\). Perceba que a reta cruza o centro da elipse e é paralela a um dos eixos cartesianos, de forma que a mesma coincide com um dos eixos da elipse.

Para cada \(x\), temos o \(z\) equivalente:

\(9(x-1)^2+(z+2)^2=9\Rightarrow (x-1)^2=1-{(z+2)^2\over9}\)

Para cada corte perpendicular ao novo eixo, temos uma circunferência de raio igual à distância da curva a esse eixo:

\(r=|x-1|\Rightarrow r^2=(x-1)^2=1-{(z+2)^2\over9}\)
e centrada na reta dada. Usando a equação da circunferência para cada corte, temos:

\((x-1)^2 +(y-2)^2=r^2=1-{(z+2)^2\over9}\)

Rearranjando, obtemos o parabolóide procurado:

\(\boxed{(x-1)^2 +(y-2)^2+{(z+2)^2\over9}=1}\)