Uma bancada de mecânica dos fluidos, com diâmetro de 7 mm e comprimento de 150 cm, foi utilizada em um laboratório de hidráulica para que os alunos...

Um reservatório cilíndrico de exploração de água possui um diâmetro interno igual a 3 m, e uma altura de 3 m. Existe somente uma entrada com diâmetro igual a 10 cm, uma saída com diâmetro de 8 cm, e um dreno. Inicialmente o tanque está vazio quando a bomba de entrada é acionada, produzindo uma velocidade média na entrada de 5 m/s. Quando o nível do tanque atinge 0,7 m, a bomba de saída é acionada, causando uma vazão para fora do tanque na saída; a velocidade média na saída é 3 m/s. Quando o nível de água atinge 2 m, o dreno é aberto de tal forma que o nível permanece em 2 m. Determine (a) o tempo no qual a bomba de saída é acionada, (b) o tempo no qual o dreno é aberto e (c) a vazão no dreno (m3/min).

Falta a figura do sistema, mas mesmo sem alguns dados, é possível nortear a solução através da teoria que será aplicada e algumas dicas para simplificar o problema.

Para a resolução do problema, aplicamos a Equação da Energia Mecânica para Fluidos [01]. No caso, entre os dois pontos citados. A fórmula é apresentada a seguir:

\({P_{1}\over\gamma}+ {v_{1}^2\over2g}+h_{1}+H_{localizada}+H_{distribuída} = {P_{2}\over\gamma}+ {v_{2}^2\over2g}+h_{2}\)

Onde:

• \(P\): Pressão no ponto [mca];
• \(\gamma\) : Peso específico do fluído [N/m³];
• \(v\) : Velocidade do fluido no ponto[m/s];
• \(g\) : Aceleração da gravidade [m/s²];
• \(h\) : Altura do ponto em relação ao PHR (Plano de Referência Horizontal) [m];
•  \(H_{localizada}\) : Perda de carga localizada [mca];
• \(H_{distribuída}\) : Perda de carga distribuída [mca]

No caso do problema, a soma das parcelas de perdas de carga foi fornecida como sendo igual a 4.7 (mca - metros de coluna d'água). 

Para a determinação da velocidade, podemos partir da vazão, pois temos o valor do diâmetro da tubulação.

\(v = {Q\over A_{transversal}}= {Q\over ( \pi\times R^2)}\)

Onde:

• \(Q\): Vazão do sistema [m³/s];
• \(A_{transversal}\): Área da secção transversal [m²];
• \(R\): raio da secção transversal circular [m];

A leitura do manômetro fornece o valor da pressão no ponto em que ele está instalado.Como o fluido é de mercúrio, é necessário lembrar de considerar que o peso específico do mercúrio é diferente do da águal. No caso, aplicamos a Teorema de Stevin [02] para a determinar a pressão que o manômetro indica. A ideia é analisar de ponto em ponto quando o fluido muda. Basicamente a pressão em um ponto é igual à:

\(P_{2} = h+ P_{1}\)

ou 

\(P_{2} = h \times {\rho_{mercúrio}\over \rho_{água}} + P_{1}\)

Onde:

• \(P_{2} \) : Pressão do ponto [mca];
• \(h\) : Altura da coluna de fluído entre os pontos 1 e 2 [m]; 
• \(\rho\) : Densidade do fluido considerado no trecho analisado [kg/m³];
• \(g\) : Aceleração da gravidade [m/s²];
• \(P_{1}\) : Pressão conhecida de um ponto acima do ponto analisado [mca];

A primeira equação é usada quando há água entre os dois pontos e a segunda equação quando há mercúrio.

Algumas hipóteses recorrentes nesse tipo de exercício são apresentadas a seguir.

• Se um dos pontos analisados se encontra em uma superfície ao ar livre, a pressão é nula. Isso ocorre porque a pressão da fórmula é relativa à pressão atmosférica, ou seja, a pressão que entra na fórmula é a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica. Casos mais recorrentes são tanque aberto ou jato livre.
• Se o ponto analisado se encontra em um tanque de grandes dimensões, a velocidade dele é nula. Isso ocorre pois, se o tanque for suficientemente grande, a variação do nível será desprezível. Em outras palavras, o ponto apresentará uma velocidade desprezível.
• O PHR (Plano de Referência Horizontal) geralmente é adotado como sendo o solo. Por isso, as medidas de \(h\) são realizadas a partir do solo geralmente.

Caso necessite da aplicação númerica do exercício, não hesite em nos enviar a figura do exercício. Colocamo-nos a disposição para eventuais dúvidas.

Fonte:

[01] https://docente.ifrn.edu.br/andouglassilva/disciplinas/mecanica-dos-fluidos/aula-7-equacao-da-energia-mecanica-para-fluidos-maquinas . Acesso em 2 de agosto de 2018, às 20:13.

[02] http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/aula5.pdf . Acesso em 2 de agosto de 2018, às 20:15.