Determine os coeficientes de segurança

Para determinar o fator de segurança, precisamos saber a magnitude das tensões nos pontos dados. Primeiro vamos analisar quais forças atuam no plano dos pontos dados: 

A força concentrada atuante será chamada de cortante (V) e o torque que atua no plano da haste será denotado por T. Vamos determinar também algumas propriedades do eixo, como o momento de inércia, momento polar de inércia e a área da seção. Calculando-os, temos:

                                                                                 \(\begin {align*} V &=F=4500N \\ T&=V*a \\ M_{z} &= V*l \\ I &= \frac{\pi*d^{4}}{64} \\ J&=2I \\ A &= \frac{\pi*d^{2}}{4} \end{align*}\)

                                                                  \(\begin{align*} T &= 4500*0,2 = 900Nm\\ M_{z} &= 4500*0,15 = 675Nm \\ I &= \frac{\pi*0,04^{4}}{64}=1,26*10^{-7} m^{4} \\ J&= 2*1,26*10^{-7} = 2,51*10^{-7}m^{4} \\ A &= \frac{\pi*0,04^{2}}{4} = 1,26*10^{-3}m^{2} \end{align*}\)

Com estas informações podemos calcular as tensões normais e cisalhantes, definidas abaixo, nos pontos A e B:

                                                                               \(\begin{align*} \tau &=\frac{Tr}{J}+\frac{VQ}{It} \\ \\ \sigma &=\frac{P}{A}+\frac{Mc}{I} \end{align*}\)

Calculando as tensões nos pontos A e B, temos:

                                                    \(\begin{align*} \tau_{A} &=\frac{Tr}{J}=+\frac{900*0,02}{2,51*10^{-7}}=71,43*10^{6}=71,43MPa \\ \sigma_{A} &=\frac{Mc}{I}=+\frac{675*0,02}{1,26*10^{-7}}=107,14*10^{6}=107,14MPa \\ \\ \tau_{B} &=\frac{Tr}{J}=+\frac{900*0,02}{2,51*10^{-7}}=71,43*10^{6}=71,43MPa \\ \sigma_{B} &=\frac{Mc}{I}=+\frac{675*0}{1,26*10^{-7}} =0Mpa \end{align*}\)

Calculando as tensões principais no ponto A, temos:

                                                       \(\begin{align*} \sigma _{1}&=\sigma _{med}+R\\ \sigma _{2}&=0\\ \sigma _{3}&=\sigma _{med}-R\\ \sigma _{med}&=\frac{\sigma _{x}+\sigma _{z}}{2} \\ R&=\tau_{max}=\sqrt{(\frac{\sigma _{x}-\sigma _{z}}{2})^{2}+\tau _{xz}^{2}} \\\\ \sigma _{med}&=\frac{107,14+0}{2}=53,57MPa \\ R&=\sqrt{(\frac{107,14-0}{2})^{2}+71,43^{2}} =89,29MPa\\ \sigma _{1}&=53,57+89,29=142,86MPa\\ \sigma _{2}&=0MPa\\ \sigma _{3}&=53,57-89,29=-35,72MPa\\ \end{align*}\)

Calculando as tensões principais no ponto B, temos:

                                                              \(\begin{align*} \sigma _{med}&=0MPa \\ R&=\sqrt{71,43^{2}} =71,43MPa\\ \sigma _{1}&=0+71,43=71,43MPa\\ \sigma _{2}&=0MPa\\ \sigma _{3}&=0-71,43=-71,43MPa\\ \end{align*}\)

Determinando o fator de segurança para os pontos A e B usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento, temos:

                                                                \(\begin{align*} \tau_{max}&=R= \frac{\tau_{esc}}{2*(FS)}\\ (FS)_{A}&= \frac{\tau_{esc}}{2R_{A}}=\frac{324}{2*89,29}=1,81\\ (FS)_{B}&= \frac{\tau_{esc}}{2R_{B}}=\frac{324}{2*71,43}=2,27\\ \end{align*}\)

Determinando o fator de segurança para os pontos A e B usando a teoria da energia de distorção, temos:

                                \(\begin{align*} \frac{\tau_{esc}}{(FS)}&=\sqrt{\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}}{2}} \\ (FS)_{A}&=324*\left ( \frac{(142,86-0)^{2}+(0+35,72)^{2}+(-35,72-142,86)^{2}}{2} \right )^{-\frac{1}{2}}=1,98\\ (FS)_{B}&=324*\left ( \frac{(71,43-0)^{2}+(0+71,43)^{2}+(-71,43-71,43)^{2}}{2} \right )^{-\frac{1}{2}}=2,62\\ \end{align*} \)

                                                                                  \(\boxed { (FS)_{A}=1,98 \\ (FS)_{B} =2,62}\)

Os valores encontrados nos mostra que a teoria da energia de distorção mostrou valores maiores do que a teoria da máxima tensão de cisalhamento, o que prova que a primeira é mais precisa, evitando um super-dimensionamento.