tres cabos estão conectados em A, onde são aplicadas as forças P e Q, como mostra a figura. Sabendo que Q=0, encontre o valor de P para que a tensão no cabo AD=305N
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https://www.passeidireto.com/exercicios-resolvidos/mecanica-vetorial-para-engenheiros-estatica-9-ed-2011-9788580550467/capitulo-2/problema-118P
Passo 1. Referencial:
Nesse caso, ele foi dado, e é Oxyz.
Passo 2. Tabela de pontos:
A tabela de pontos nada mais é do que os pontos da figura, serem escritos em coordenadas, de acordo com o referencial.
Nesse caso, as distancias estão em milímetros:
PONTO | X | Y | Z |
A | 960 | 240 | 0 |
B | 0 | 0 | 380 |
C | 0 | 0 | -320 |
D | 0 | 960 | -220 |
O | 0 | 0 | 0 |
Passo 3. Forças escritas vetorialmente:
3.1 Força P:
A força P está paralela ao eixo x, e seu módulo é nossa incógnita, que chamaremos de P
Se ela está paralela a x, vetorialmente, ela é escrita como
3.2 Cabo AB:
Esse cabo possui uma força de tração que vai do ponto A ao ponto B. Podemos escrever essa tração por meio da fórmula:
\(AB\cdot \frac{B-A}{|B-A|}\)
\(AB\cdot \frac{(-960,~ -240,~ 380)}{\sqrt{(-960)^2+(-240)^2+380^2}}\)
\(AB\cdot \frac{(-960,~-240,~380)}{1060}\)
\(AB\cdot (-0,905;~-0,226;~0,358)\)
3.3 Cabo AC:
Esse cabo possui uma força de tração que vai do ponto A ao ponto C. Podemos escrever essa tração por meio da fórmula:
\(AC\cdot \frac{C-A}{|C-A|}\)
\(AC\cdot \frac{(-960,~ -240,~ -320)}{\sqrt{(-960)^2+(-240)^2+(-320)^2}}\)
\(AC\cdot \frac{(-960,~-240,~-320)}{1040}\)
\(AC\cdot (-0,923;~-0,230;~-0,307)\)
3.2 Cabo AD:
Esse cabo possui uma força de tração que vai do ponto A ao ponto D. Podemos escrever essa tração por meio da fórmula:
\(AD\cdot \frac{D-A}{|D-A|}\)
Para esse cabo, porém, já sabemos o módulo da tração, que é 305N. Acharemos portanto, seu valor numérico em coordenadas:
\(305\cdot \frac{(-960,~720,~-220)}{\sqrt{(-960)^2+720^2+(-220)^2}}\)
\(305\cdot \frac{(-960,~720,~-220)}{1220}\)
\((-240,180,-55)\)
Passo 4: Tabela de forças:
Essa tabela possui as forças que achamos, escritas vetorialmente:
FORÇA | i | j | k |
P | 0 | 0 | |
-0,905AB | -0,226AB | 0,358AB | |
-0,923AC | -0,230AC | -0,307AC | |
-240 | 180 | -55 | |
0 | 0 | 0 |
Passo 5: Equações e sistema:
Uma vez que o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças tem que ser zero.
Para que tudo dê zero, basta somarmos cada coordenada da tabela, e igualarmos a zero. Aaasim:
\(\left\{\begin{matrix} P-0,905AB-A,923AC-240=0(i) \\ -0,226AB-0,230AC+180=0(ii)~~~~~~ \\ 0,359AB-0,307AC-55=0(iii)~~~~~~~~~~ \end{matrix}\right.\)
Agora, isolemos AB da equação (iii):
\(AB=\frac{55+0,307AC}{0,359}\)
Substituindo AB em (ii), temos:
\(-0,226(\frac{55+0,307AC}{0,359})-0,307AC+180=0 \\ -34,623-0,193AC-0,307AC+180=0 \\ 145,377-0,5AC=0 \\ AC=290,754N\)
Portanto:
\(AB=\frac{55+0,307\cdot 290,754}{0,359} \\ AB= 401,842N\)
Então:
\(P=0,905\cdot401,842+0,923\cdot290,754+240 \\ P=872,032N\)
OBS.: TODOS OS CÁLCULOS FORAM TRUNCADOS NA TERCEIRA CASA APÓS A VÍRGULA
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