Neste exercício, será encontrado o coeficiente da reta tangente à função \(y^2(2-x)=x^3\) no ponto \((1,1)\). Essa função pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y^2(2-x)=x^3\)

\(\Longrightarrow 2y^2-xy^2=x^3\)

Derivando a equação anterior em relação a x, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {d \over dx} (2y^2-xy^2) = {d \over dx} (x^3)\)

\(\Longrightarrow 2{d \over dx}y^2 - {d \over dx}(xy^2) = 3x^2\)

\(\Longrightarrow 2{d \over dy}y^2{dy \over dx} - (y^2 + x{d \over dx}y^2) = 3x^2\)

\(\Longrightarrow 2\cdot 2y{dy \over dx} - y^2 - x{d \over dy}y^2{dy \over dx} = 3x^2\)

\(\Longrightarrow 4y{dy \over dx} - y^2 - 2xy{dy \over dx} = 3x^2\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} \Big[y(4 - 2x) \Big] = 3x^2 + y^2\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = { 3x^2 + y^2 \over y(4 - 2x)}\)

A equação resultate representa a inclinação da reta tangente no ponto \((x,y)\). Portanto, o coeficiente da reta no ponto \((1,1)\) é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = { 3(1)^2 + 1^2 \over 1(4 - 2\cdot 1)}\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} = { 3 + 1 \over 2}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dy \over dx} = 2 $}\)