Como resolver operações lógicas sobre sentenças abertas?

So fechat a sentença.

em uma proposição. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e o símbolo   é chamado quantificador universal.

Exemplos:

(1) “ ” é uma proposição verdadeira.

(2) “Em qualquer triângulo ABC, a soma das medidas dos seus ângulos internos é 180º ” é uma proposição verdadeira.

(3) “ ” é uma proposição falsa.

Em textos de Matemática elementar, a quantificação universal é frequentemente omitida pelo bem da simplicidade. Por exemplo, a frase “ ”, em livros do ensino básico, deve ser entendida como “para todo número real x,  ”.

Referência: Site http://clubes.obmep.org.br/blog/linguagem-matematica-sala-3_2/ - Acessado em 04/10/2018

Conclusão:

Conforme mostrado acima, como as frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta, uma forma de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.referindo-se à variável x representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta  , então:

• A frase   é uma proposição verdadeira, se  ;
• A frase   é uma proposição falsa, se  .

Deste modo, dada uma sentença aberta   em um conjunto U , o símbolo , ou seja, "para todos os elementos u de U,   deve ser verdadeira".

Podemos expressar essa situação como:

• para todo   é verdadeira;

ou ainda,

• qualquer que seja o  , tem-se que   é verdadeira.

e, formalmente, por:

 ou

Portanto, se   for uma sentença aberta em um conjunto U cujo conjunto-verdade é é tal que  . Neste caso, todos os elementos de U irão satisfazer  ,  .. (Proposição falsa; faça   e observe que  ).

• (3) A partir da sentença aberta  , podemos obter as proposições:

Existe   pertencente a   tal que  . (Proposição verdadeira; tome, por exemplo,   e observe que  ).

Existe um único par ordenado   pertencente a   tal que  . (Proposição falsa; observe que os pares   satisfazem a condição definida pela sentença aberta  ).

Para todo par ordenado   pertencente a  ,  . (Proposição falsa; pois o par ordenado   não satisfaz a condição definida pela sentença aberta  ).

• Para as nossas finalidades, quantificar variáveis de uma sentença aberta significa determinar a "quantidade" de elementos do domínio da sentença que definem proposições verdadeiras. Na Matemática há três maneiras formais de quantificarmos variáveis de sentenças abertas:

Afirmando que todos os elementos do domínio transformam a sentença aberta em proposições verdadeiras;

Afirmando que pelo menos um dos elementos do domínio transforma a sentença aberta em uma proposição verdadeira;

Afirmando que exatamente um dos elementos do domínio transforma a sentença aberta em uma proposição verdadeira.

• Expressões como "existe", "existe um único" e "para todo” são denominadas quantificadores e serão apresentadas mais formalmente a seguir.
• Quantificador Universal:
• O quantificador universal é usado para representar afirmações universais que no Português são expressas por orações como:
• • Para todo mundo …
• • Todos aqui …
• • Qualquer um que …
• Na Matemática esse tipo de frase aparece quando temos uma sentença aberta   em um conjunto U cujo conjunto-verdade tal que  . (Proposição falsa; faça   ou  ).

Para todo x pertencente a tal que  . (Proposição verdadeira; tome, por exemplo,   e observe que  ).

Existe um único x pertencente a ,  . (Proposição falsa;   não satisfaz a sentença  , pois  ).

• (2) A partir da sentença aberta  , podemos obter as proposições:

Existe x pertencente a tal que  . (Proposição falsa; faça   ou  ).

Para todo x pertencente a  tal que  . (Proposição verdadeira; tome, por exemplo,  ).

Existe um único x pertencente a 

Contextualização:

Quantificadores:

Frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta. Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.

Considerando a sentença aberta   no conjunto dos números naturais, note que, se fixarmos  , obtemos a proposição verdadeira  , que é uma maneira diferente de escrever  ; ao passo que se fixarmos  , obtemos a proposição falsa  .

Mas essa não é a única maneira de "transformar sentenças abertas em proposições". Particularmente, as frases:

para um número natural x.

para dois números naturais x.

para nenhum número natural x.

são também proposições: a primeira verdadeira e as duas outras falsas. Perceba que, ao invés de fixar, quantificamos a variável x.

Pois bem, de modo geral, temos então duas maneiras de obter proposições a partir de uma sentença aberta: fixando as variáveis da sentença ou quantificando-as. Vamos, agora, fixar a nossa atenção no processo de "quantificar" variáveis.

Resolução:

Vejamos alguns exemplos.

(1) A partir da sentença aberta  , podemos obter as proposições:

• Existe x pertencente a