2) Seja T: R³ -> R²

se vc tem as transformacoes em vetores q formam uma base pro espaço do dominio entao:
(x,y,z)=a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0) resolva pra a b e c e aplique T
e usa q é linear e bota o a b e c pra fora fica T(x,y,z)=aT(1,1,1)+bT(1,1,0)+cT(1,0,0)

\[(x,y,z)=a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)=(a+b+c,a+b,a)\]

Assim:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + c = x} \\ {a + b = y} \\ {a = z} \end{array}} \right.\]

Resolvendo este sistema para \(a\), \(b\) e \(c\), obtém-se:

\[a=z\]

\[a+b=y \Rightarrow z+b=y \Rightarrow b=y-z\]

\[a+b+c=x \Rightarrow z+(y-z)+c=x \Rightarrow c=y-z\]

Assim, \(a=z\), \(b=y-z\) e \(c=y-z\) e deste modo:

\[(x, y, z)=z(1,1,1)+(y-z)(1,1,0)+(x-y)(1,0,0)\]

Portanto:

\[\eqalign{ T\left( {x,y,z} \right) &= T\left[ {z\left( {1,1,1} \right) + \left( {y - z} \right)\left( {1,1,0} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {1,0,0} \right)} \right] \cr & = T\left[ {z\left( {1,1,1} \right)} \right] + T\left[ {\left( {y - z} \right)\left( {1,1,0} \right)} \right] + T\left[ {\left( {x - y} \right)\left( {1,0,0} \right)} \right] \cr & = zT\left( {1,1,1} \right) + \left( {y - z} \right)T\left( {1,1,0} \right) + \left( {x - y} \right)T\left( {1,0,0} \right) \cr & = z\left( {1,2} \right) + \left( {y - z} \right)\left( {2,3} \right) + \left( {x - y} \right)\left( {3,4} \right) \cr & = \left( {3x - y - z, 4x - y - z} \right) }\]

Assim, a forma geral da transformação linear é:

\[\boxed{T\left( {x,y,z} \right) = \left( {3x - y - z, 4x - y - z} \right)}\]

Para obter o vetor \(v=(x,y,z)\) em \(\mathbb R^3\) tal que \(T(x,y,z)=(-3,-2)\), deverá ser resolvido o sistema:

\[\eqalign{ & 3x - y - z = - 3 \cr & 4x - y - z = - 2 }\]

Como o sistema possui 3 variáveis e 2 equações lineares, este sistema terá infinitas soluções. Tomando \(z=t\), é possível resolver encontrar equações paramétricas para o conjunto de soluções.

Subtraindo membro a membro o sistema de equações acima, obtém-se:

\[-x=-1\]

\[x=1\]

Com \(x=1\) e \(z=t\), pode-se obter uma expressão para \(y\):

\[3(1)-y-t=-3\]

\[y=6-t\]

Assim, podemos escrever o vetor \(v\) da seguinte forma:

\(\boxed{v=(1, 6-t, t)}\)