ME AJUDEN

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Nesse exercício vamos estudar matriz de transformação.

A transformação dada transforma o vetor $(x,y)$ no vetor $(2x-y,x+3y,-2y)$:

$$egin{pmatrix}2x-y\x+3y\-2yend{pmatrix}=[T]egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}$$

De forma que $[T]$ deve ser uma matriz $3 imes2$:

$$egin{pmatrix}2x-y\x+3y\-2yend{pmatrix}=egin{pmatrix}t_{11}&t_{12}\t_{21}&t_{22}\t_{31}&t_{32}end{pmatrix}egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}$$

Podemos então escrever as identidades:

$$egin{cases}2x-yequiv t_{11}x+t_{12}y&Rightarrow left(t_{11},t_{12} ight)=left(2,-1 ight)\x+3yequiv t_{21}x+t_{22}y&Rightarrow left(t_{21},t_{22} ight)=left(1,3 ight)\-2yequiv t_{31}x+t_{32}y&Rightarrow left(t_{31},t_{32} ight)=left(0,-2 ight)end{cases}$$

Perceba que as componentes da matriz nada mais são que os coeficientes da transformação linear:

$$oxed{[T]=egin{pmatrix}2&-1\1&3\0&-2end{pmatrix}}$$

Nesse exercício vamos estudar matriz de transformação.

A transformação dada transforma o vetor $(x,y)$ no vetor $(2x-y,x+3y,-2y)$:

$$\begin{pmatrix}2x-y\\x+3y\\-2y\end{pmatrix}=[T]\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

De forma que $[T]$ deve ser uma matriz $3\times2$:

$$\begin{pmatrix}2x-y\\x+3y\\-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}\\t_{21}&t_{22}\\t_{31}&t_{32}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Podemos então escrever as identidades:

$$\begin{cases}2x-y\equiv t_{11}x+t_{12}y&\Rightarrow \left(t_{11},t_{12}\right)=\left(2,-1\right)\\x+3y\equiv t_{21}x+t_{22}y&\Rightarrow \left(t_{21},t_{22}\right)=\left(1,3\right)\\-2y\equiv t_{31}x+t_{32}y&\Rightarrow \left(t_{31},t_{32}\right)=\left(0,-2\right)\end{cases}$$

Perceba que as componentes da matriz nada mais são que os coeficientes da transformação linear:

$$\boxed{[T]=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\\0&-2\end{pmatrix}}$$