como provar o teorema dos eixos paralelos?

Também conhecido como teorema de Steiner, é um teorema que permite calcular o momento de inercia.

Em um sistema de coordenadas cartesiano a distância perpendicular entre os eixos esta sobre o eixo x e que o centro de massa se encontra na origem. O momento de inércia relativo ao eixo z, passando sobre o centro de massa, é:

O momento de inércia relativo ao novo eixo, que dista r, ao longo do eixo x, do centro de massa, é:

Expandindo o quadrado dentro da integral, tem-se:

O primeiro termo é  , o segundo se torna   e o terceiro se anula uma vez sendo o centro de massa localizado na origem. Assim:

Temos finalmente:

Também conhecido como teorema de Steiner, é um teorema que permite calcular o momento de inercia.

Em um sistema de coordenadas cartesiano a distância perpendicular entre os eixos está sobre o eixo x e que o centro de massa se encontra na origem. O momento de inércia relativo ao eixo z, passando sobre o centro de massa, é:

O momento de inércia relativo ao novo eixo, que dista r, ao longo do eixo x, do centro de massa, é:

Expandindo o quadrado dentro da integral, tem-se:

O primeiro termo é , o segundo se torna  e o terceiro se anula uma vez sendo o centro de massa localizado na origem. Assim:

Temos finalmente:

Também conhecido como teorema de Steiner, é um teorema que permite calcular o momento de inercia.

Em um sistema de coordenadas cartesiano a distância perpendicular entre os eixos está sobre o eixo x e que o centro de massa se encontra na origem. O momento de inércia relativo ao eixo z, passando sobre o centro de massa, é:

O momento de inércia relativo ao novo eixo, que dista r, ao longo do eixo x, do centro de massa, é:

Expandindo o quadrado dentro da integral, tem-se:

O primeiro termo é , o segundo se torna  e o terceiro se anula uma vez sendo o centro de massa localizado na origem. Assim:

Temos finalmente: