Alguém para dar uma super ajuda?

Vê isso te dá um luz:

http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/estudo-das-derivadas/maximos-ou-minimos-relativos.html

https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091215102401AAboSOA

bjs

Neste exercício, será analisada a seguinte função:

\(\Longrightarrow y=-x^3-9x^2+81x-6\)

Os extremos locais da função são os pontos nos quais a sua inclinação é zero, ou seja:

\(\Longrightarrow {dy \over dx}=0\)

Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {d \over dx} (-x^3-9x^2+81x-6)= 0\)

\(\Longrightarrow -3x^2-9 \cdot 2x+81= 0\)

\(\Longrightarrow -3x^2-18x+81= 0\)

A equação anterior está no devido formato para utilizar a Fórmula de Bhaskara. Os seus coeficientes são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a=-3 \\ b = -18 \\ c=81 \end{matrix} \right.\)

Portanto, os extremos locais são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2-4(-3)(81)} \over 2(-3)}\)

\(\Longrightarrow x = {18 \pm \sqrt{324+972} \over -6}\)

\(\Longrightarrow x = {18 \pm 36 \over -6}\)       \(\rightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} x_1=-9 \\ x_2= 3 \end{matrix} \right. $}\)

Para saber se os extremos locais são máximos ou mínimos, um método que pode ser usado é através da função \( {d^2y \over dx^2}\). Sendo \(x_0\) um extremo local, tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d^2y \over dx^2}\Bigg |_{x=x_0}>0 \to x_0 \mbox{ minimo} \\ {d^2y \over dx^2}\Bigg |_{x=x_0}<0 \to x_0 \mbox{ maximo} \end{matrix} \right.\)

Com isso, a função \( {d^2y \over dx^2}\) é:

\(\Longrightarrow {d^2y \over dx^2} = {d \over dx} \Big({dy \over dx} \Big )\)

\(\Longrightarrow {d^2y \over dx^2} = {d \over dx}(-3x^2-18x+81)\)

\(\Longrightarrow {d^2y \over dx^2} = -6x-18\)

Portanto, a classificação dos extremos locais é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d^2y \over dx^2}\Bigg |_{x=x_1} = -6x_1-18 = -6(-9)-18 =36 \\ {d^2y \over dx^2}\Bigg |_{x=x_2} = -6x_2-18 = -6 \cdot 3-18 = -36 \end{matrix} \right.\)     \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d^2y \over dx^2}\Bigg |_{x=x_1} =36 >0 \to x_1=-9 \mbox{ é ponto minimo}\\ {d^2y \over dx^2}\Bigg |_{x=x_2} = -36 <0 \to x_2=3 \mbox{ é ponto maximo} \end{matrix} \right.\)

Portanto, tem-se a seguinte análise da função \(y\):

1) No intervalo \(\big]- \infty;-9 \big ]\), a função \(y\) é decrescente.
2) No intervalo \(\big[-9; 3 \big ]\), a função \(y\) é crescente.
3) No intervalo \(\big[3; + \infty \big [\), a função \(y\) é decrescente.

Os pontos de inflexão da função são os pontos nos quais a sua inclinação é máxima, ou seja:

\(\Longrightarrow {d^2y \over dx^2} =0\)

Portanto, o ponto de inflexão é:

\(\Longrightarrow {d^2y \over dx^2} = -6x-18\)

\(\Longrightarrow 0 = -6x-18\)

\(\Longrightarrow 6x=-18\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ x_{infl}=-3 $}\)

Portanto, tem-se a seguinte análise da função \(y\):

1) O intervalo \(\big]- \infty;-3 \big ]\) engloba o ponto mínimo \(x_1=-9\). Portanto, a concavidade é voltada para cima.
2) O intervalo \(\big]-3;+ \infty \big ]\) engloba o ponto máximo \(x_2=3\). Portanto, a concavidade é voltada para baixo.