min 2x+y
sa xy=288 >> xy-288=0
L=(x,y,λ)=2x+y-λ(xy-288)
derivando "L"
dL/dx= 2-λy >> 2-λy=0
dL/dy= 1-λx >> 1-λx=0
dL/dλ= -(xy-288) >> -(xy-288)=0
*igualando a zero
2-λy=0
y=2/λ
1-λx=0
x=1/λ
substituindo x e y
-(xy-288)=0
λ=1/12
achando as incognitas
x=1/λ >> x=12
y=2/λ >> y=24
Para resolver esse problema é preciso entender que se trata de um problema de máximos e mínimos. Ou seja, precisamos encontrar primeiro uma função que represente a soma pedida e fazer a análise de sua derivada para encontrar o seu valor mínimo. Então vamos anotar as informações do enunciado da seguinte forma:
Onde a equação representa a informação do produto dos dois números e a equação representa a função da soma pedida, que vamos analisar para encontrar seu valor mínimo.
Isolando o valor de na equação e substituindo na equação , obtemos a seguinte função da soma:
Agora que temos a função desejada, podemos analisar seus pontos críticos e encontrar os valores de mínimo da função.
A função soma é contínua e derivável para valores de . Então, para encontrar os pontos críticos da função, basta encontrar a sua primeira derivada
e verificar quando seu valor é 0:
Portanto seus pontos críticos são . Como o problema fala que tanto quanto são números não negativos, vamos analisar apenas o ponto .
Para saber se esse ponto é um ponto de máximo ou de mínimo, precisamos analisar os valores da derivada da função soma em torno do ponto crítico encontrado. Podemos subdividir o domínio da função em dois intervalos: . Se o valor de for positivo em algum desses intervalos, significa que é crescente naquele intervalo. Caso o sinal da derivada seja negativo, significa que é decrescente nesse intervalo. Fazendo essa análise:
Por fim, podemos perceber que tanto antes de como depois de , a função é crescente. Isso significa de fato que o ponto crítico é um ponto de mínimo. A função da soma foi esboçada na figura 1 abaixo:
Figura 1 – Função para e valor mínimo.
Substituindo na equação de , encontramos um valor mínimo da soma igual a .
Para encontrar o valor mínimo de que satisfaz as condições, basta substituir o valor de na equação do produto entre os dois números:
E assim podemos verificar que realmente a soma é mínima para , já que .
Portanto, os números que satisfazem o problema são .
Referências:
Figura 1 – Autoria própria.
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
Geometria Analítica
•UNIP
Compartilhar