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O produto de dois números, não negativos, é 288. Quais são os números para que a soma do segundo com o dobro do primeiro seja MÍNIMA ?

💡 5 Respostas

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Estudante PD

min 2x+y

sa xy=288 >> xy-288=0

L=(x,y,λ)=2x+y-λ(xy-288)

derivando "L"

dL/dx= 2-λy  >> 2-λy=0

dL/dy= 1-λx >> 1-λx=0

dL/dλ= -(xy-288) >> -(xy-288)=0

*igualando a zero

2-λy=0

y=2/λ

 

 1-λx=0

x=1/λ

 

substituindo x e y

-(xy-288)=0

λ=1/12

 

achando as incognitas

x=1/λ >> x=12

y=2/λ >> y=24

 

 

 

 

 

 

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bruna mello gomes

Não está muito bem explicado, poderia explicar? Por favor.

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Andre Smaira

Para resolver esse problema é preciso entender que se trata de um problema de máximos e mínimos. Ou seja, precisamos encontrar primeiro uma função que represente a soma pedida e fazer a análise de sua derivada para encontrar o seu valor mínimo. Então vamos anotar as informações do enunciado da seguinte forma:

Onde a equação representa a informação do produto dos dois números e a equação representa a função da soma pedida, que vamos analisar para encontrar seu valor mínimo.


Isolando o valor de na equação e substituindo na equação , obtemos a seguinte função da soma:


Agora que temos a função desejada, podemos analisar seus pontos críticos e encontrar os valores de mínimo da função.


A função soma é contínua e derivável para valores de . Então, para encontrar os pontos críticos da função, basta encontrar a sua primeira derivada

e verificar quando seu valor é 0:


Portanto seus pontos críticos são . Como o problema fala que tanto quanto são números não negativos, vamos analisar apenas o ponto .


Para saber se esse ponto é um ponto de máximo ou de mínimo, precisamos analisar os valores da derivada da função soma em torno do ponto crítico encontrado. Podemos subdividir o domínio da função em dois intervalos: . Se o valor de for positivo em algum desses intervalos, significa que é crescente naquele intervalo. Caso o sinal da derivada seja negativo, significa que é decrescente nesse intervalo. Fazendo essa análise:


Por fim, podemos perceber que tanto antes de como depois de , a função é crescente. Isso significa de fato que o ponto crítico é um ponto de mínimo. A função da soma foi esboçada na figura 1 abaixo:

Figura 1 – Função para e valor mínimo.

Substituindo na equação de , encontramos um valor mínimo da soma igual a .


Para encontrar o valor mínimo de que satisfaz as condições, basta substituir o valor de na equação do produto entre os dois números:


E assim podemos verificar que realmente a soma é mínima para , já que .

Portanto, os números que satisfazem o problema são .

Referências:

Figura 1 – Autoria própria.

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