CÁLCULOS

Bom dia, Liliana!

Neste problema, para obter a quantidade máxima, precisamos encontrar os pontos críticos da função e verificar se são (ou é) ponto de máximo ou mínimo.

f(t)= 500t² + 300t + 1500/ t² + 3

f(t)= 500t² + 300t + 1500t^(-2) + 3

Derivando, teremos:

f'(t)=2x500t+300+(-2)x1500t^(-2-1)

f'(t) = 1000t+300-3000t^-3

Igualando a derivada a zero:

f'(t)=0

1000t+300-3000/t³=0, multiplicando por t³:

1000t^4+300t³-3000=0

Agora precisamos obter uma raiz desta equação.

Dividindo por 100 para simplificar:

10t^4+3t³-30=0

Podemos obter, se existirem, as raízes racionais de um polinômio de coeficientes inteiros, procurando no conjunto formado pelas frações a/b, onde a é divisor de -30(termo independente) e b é divisor de 10 (termo relativo ao coeficiente de mais alto expoente)

Divisores de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10}

Agora é só procurar dentre essas frações uma que sirva (se existir).

Após buscar vai perceber que não há raízes dentre estes racionais.

Então, utilizando algum método iterativo, tal como Newton-Raphson, poderia obter as raízes desta equação.

Obtive duas (reais)

Aproximadamente: 1,247024 e -1,397998

Para saber agora se é um ponto de máximo ou mínimo, podemos analisar o sinal da derivada segunda.

Derivando novamente a função f'(t) = 1000t+300-3000t^-3, teremos:

f''(t)=1000+9000t^-4.

Os dois pontos darão valores POSITIVOS para a função.

f''(1,247024)=1000+9000/1,247024^4=4721,716276, aproximadamente

f''(-1,397998)=1000+9000/(-1,397998)^4=3356,222555, aproximadamente.

Dois valores positivos, portanto, dois pontos de MÍNIMO.

Ou seja, a população desta reserva só irá crescer, ano a ano, sem atingir um ponto de máximo, pois ela decresce, até 1,24 anos, até um valor mínimo, e depois só cresce.

Espero ter pego a função correta! :)

Abraços!

Bom dia Rodrigo,tudo bem? Obrigado pelo seu empenho.

A resposta que tem que dar é : A quantidade máxima de animais será de aproximadamente 1366. Esse número deve ser atingido após 1,73 anos.

Só que eu não consigo chegar nesse cálculo 

Neste exercício, para encontrar a quantidade máxima de animais, deve-se achar o valor de \(t\) que satisfaça a seguinte equação:

\(\Longrightarrow {df(t) \over dt} = 0\)

Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow {d \over dt}({500t^2 + 300t + 1.500 \over t^2+3}) = 0\)

\(\Longrightarrow {(500t^2 + 300t + 1.500)'(t^2+3) - (500t^2 + 300t + 1.500)(t^2+3)' \over (t^2+3)^2} +0=0\)

\(\Longrightarrow {(1.000t + 300)(t^2+3) - (500t^2 + 300t + 1.500)(2t) \over (t^2+3)^2} =0\)

\(\Longrightarrow (1.000t^3 + 300t^2+3.000t+900) - (1.000t^3 + 600t^2 + 3.000t)=0\)

\(\Longrightarrow -300t^2 + 900=0\)

\(\Longrightarrow 300t^2 = 900\)

\(\Longrightarrow t^2 = 3\)

\(\Longrightarrow t = \pm \sqrt{3}\)

Como o tempo não pode ser menor do que zero, o valor de \(t\) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ t = 1,732 \,\,\mathrm {anos} $}\)

Portanto, a quantidade máxima de animais é:

\(\Longrightarrow f_{max}(t) = {500t^2 + 300t + 1.500 \over t^2+3}\)

\(\Longrightarrow f_{max}(t) = {500\cdot (\sqrt{3})^2 + 300(\sqrt{3}) + 1.500 \over (\sqrt{3})^2+3}\)

\(\Longrightarrow f_{max}(t) = {500\cdot3 + 300\sqrt{3} + 1.500 \over 3+3}\)

\(\Longrightarrow f_{max}(t) = 586,6025\)

O valor \(f_{max}(t) \) deve ser um número inteiro, pois se trata de uma quantidade de animais. Então, o resulado final é:

 \(\Longrightarrow \fbox {$ f_{max}(t) = 586 $}\)