Em um triângulo retângulo ABC qualquer, sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. Mostre que o triângulo MNP também é

Tome as retas AB e CA, e trace uma reta s paralela a reta BC partindo do ponto M. Pelo teorema de Tales vemos que a reta s corta a reta CA no ponto medio, ou seja, a reta s contém MP.

Repetindo o processo em AB e BC, e em BC e CA, encontramos as retas MN e NP respectivamente paralelas às retas CA e  AB.

Se as retas do triangulo MNP sao paralelas ás retas do triangulo ABC, logo sao triangulos congruentes e portanto MNP é tambem um triangulo retangulo.

obs:tem outras formas de resolver, mas essa foi a que veio mais facil a mente.

Com as informações fornecidas, podemos montar o triângulo retângulo com as medidas , e:

Se o triângulo é retângulo, então ele deve satisfazer a seguinte condição:

Dessa forma, se o triângulo for retângulo, então ele deve satisfazer:

Perceba que na formação do triângulo outros três triângulos foram formados e, por conta das retas paralelas formadas, todos eles são triângulos retângulos. Assim, vamos colocar o , e em função dos lados do triângulo:

Substituindo na condição, temos:

Ou seja, como o triângulo satisfazer a condição , então ele é um triângulo retângulo.

Com as informações fornecidas, podemos montar o triângulo retângulo   com as medidas  ,  e :

Se o triângulo  é retângulo, então ele deve satisfazer a seguinte condição:

Dessa forma, se o triângulo   for retângulo, então ele deve satisfazer:

Perceba que na formação do triângulo   outros três triângulos foram formados e, por conta das retas paralelas formadas, todos eles são triângulos retângulos. Assim, vamos colocar o  ,   e   em função dos lados do triângulo :

Substituindo na condição, temos:

Ou seja, como o triângulo   satisfazer a condição   , então ele é um triângulo retângulo.