Como resolver essa Integral ?

Nesse exercício vamos resolver a seguinte integral usando o método da substituição:

$$I = \int e^{2x}\cos^2(e^{2x}-1)\, dx$$

Começando pela substituição $u=e^{2x}-1\Rightarrow du=e^{2x}dx$, temos:

$$I = \int \cos^2u\, du$$

A seguir vamos usar a identidade trigonométrica do cosseno do arco duplo:

$$\cos{2u}=\cos^2u-\sin^2u=2\cos^2u-1\Rightarrow\cos^2u={1+\cos{2u}\over2}$$

Substituindo na integral, ficamos com:

$$I = \int {1+\cos{2u}\over2}\, du={1\over2} \int 1+\cos{2u}\, du $$

Integrando a soma, temos:

$$I={u\over2}+{\sin{2u}\over4}+A$$

Nas variáveis originais, com $C=A-{1\over2}$:

$$\boxed{\int e^{2x}\cos^2(e^{2x}-1)\, dx ={1\over2} e^{2x}+{1\over4}\sin\left(2 e^{2x}-2\right)+C }$$

Nesse exercício vamos resolver a seguinte integral usando o método da substituição:

$$I = \int e^{2x}\cos^2(e^{2x}-1)\, dx$$

Começando pela substituição $u=e^{2x}-1\Rightarrow du=e^{2x}dx$, temos:

$$I = \int \cos^2u\, du$$

A seguir vamos usar a identidade trigonométrica do cosseno do arco duplo:

$$\cos{2u}=\cos^2u-\sin^2u=2\cos^2u-1\Rightarrow\cos^2u={1+\cos{2u}\over2}$$

Substituindo na integral, ficamos com:

$$I = \int {1+\cos{2u}\over2}\, du={1\over2} \int 1+\cos{2u}\, du $$

Integrando a soma, temos:

$$I={u\over2}+{\sin{2u}\over4}+A$$

Nas variáveis originais, com $C=A-{1\over2}$:

$$\boxed{\int e^{2x}\cos^2(e^{2x}-1)\, dx ={1\over2} e^{2x}+{1\over4}\sin\left(2 e^{2x}-2\right)+C }$$