Determine os valores das constantes de modo que: a. f(x)= ax² + bx + c tenha um valor máximo = 7 em x = 1 e o gráfico de f passe no ponto P (-2,2)

As derivadas dão-nos o declive de uma função, em função da sua abcissa. Então no valor máximo de f, o declive tem de ser nulo (df/dx=f'(x)=0). Sabemos também que o valor da abcissa nesse ponto é de x=1.

Além disso, sabemos que 2 pontos que a função f contém são (1,7) e (-2,2). Basta substituir os pontos na função f.

Criadas 3 condições, basta resolver o sistema e descobrir os valores de a, b e c.

Deixo aqui uma imagem da minha resolução rápida, embora a qualidade seja um bocado má... (https://imgur.com/a/iOGN4Rd)

O ponto que maximiza ou minimiza uma função é o ponto onde sua taxa de variação é nula, ou seja é ponto onde a derivada dessa função é nula. Para isso, é necessário encontrar as raízes da função derivada e aplicá-las na função primitiva para maximizá-la. No caso, foi enunciado dois pontos pertencentes a função, porém um deles é ponto de máximo, ou seja, temos três informações para determinarmos três incógnitas, o que é suficiente.

Precisamos encontrar as constantes a, b e c de f(x):

O ponto de máximo de f(x) ocorre quando sua derivada ali, no caso em (1,7), é nula, ou seja:

Além disso sabemos que os pontos (1,7) e (-2,2) pertencem a f:

Logo, o valor das constantes a, b e c é a solução do sistema das três equações determinadas pelas três informações enunciadas:

Portanto, a parábola que satisfaz as condições enunciadas é a seguinte:

O ponto que maximiza ou minimiza uma função é o ponto onde sua taxa de variação é nula, ou seja é ponto onde a derivada dessa função é nula. Para isso, é necessário encontrar as raízes da função derivada e aplicá-las na função primitiva para maximizá-la. No caso, foi enunciado dois pontos pertencentes a função, porém um deles é ponto de máximo, ou seja, temos três informações para determinarmos três incógnitas, o que é suficiente.

Precisamos encontrar as constantes a, b e c de f(x):

O ponto de máximo de f(x) ocorre quando sua derivada ali, no caso em (1,7), é nula, ou seja:

Além disso sabemos que os pontos (1,7) e (-2,2) pertencem a f:

Logo, o valor das constantes a, b e c é a solução do sistema das três equações determinadas pelas três informações enunciadas:

Portanto, a parábola que satisfaz as condições enunciadas é a seguinte: