Determinar a frequência de um sistema massa-mola.

a)Por consevação de energia mecânica temos.
Sabendo que: Emecânica(i) = Emecânica(f); K = m*w^2
m*g*y = (1/2)*K*y^2
m*g*y = (1/2)*m*(w^2)*y^2
g =  (1/2)*(w^2)*y
w = sqrt ((2*g)/y)
w ≅ 14 rad/s; Logo,
f ≅ 2,2 Hz

b)Por conservação de energia mecânica temos:
Ei = Ef
0 = mg(-0,08) + (1/2)mV^2 ]+ (1/2)m(w^2)(0,08)^2
v^2 = 2g(0,08) - w^2(0,08^2)
v = sqrt(0,3104) ≅ 56 cm/s

c)Inicialmente temos wi= 14rad/s e após a segunda massa temos wf=7rad/s. Logo wi/wf = 2.

Wi = sqrt (k/m); wf = sqrt(k/m+0,3); 
sqrt(k/m)/sqrt(k/m+0,3) = 2
sqrt((m + 0,3)/m) = 2
(m + 0,3)/m = 4
m + 0,3 = 4m
3m = 0,3
m = 0,1 Kg

d)Temos qua a nova posição de equilibrio tem como somatória das forças em y nula.∑Fy  = 0

Wf = Wi/2
m*g = K*y
m*g = m*(wf^2)*y
y = g/(wf^2)
y = g/((wi^2)/4)
y = 4*g/ wi^2
y ≅ 20 cm

Para calcularmos a frequência f, faremos o equacionamento abaixo:

\(\[\begin{align} & \text{Em(i)=Em (f) = K=m }\text{.}{{\text{w}}^{\text{2}}} \\ & \text{m }\text{. g }\text{. y = (1/2) }\text{. K }\text{. }{{\text{y}}^{\text{2}}} \\ & \text{m }\text{. g }\text{. y = (1/2) }\text{. m }\text{. (}{{\text{w}}^{\text{2}}}\text{) }\text{. }{{\text{y}}^{\text{2}}} \\ & g\text{ = (1/2) }\text{. (}{{\text{w}}^{\text{2}}}\text{) }\text{. y} \\ & w=\sqrt{\text{((2*g)/y) }} \\ & w\text{ = 14rad/s} \\ & f\text{ = 2}\text{,2Hz} \\ \end{align}\] \)

b)
A velocidade é equacionada por:

\(\[\begin{align} & \text{Ei = Ef} \\ & \text{0 = mg}\text{.(-0}\text{,08)+(1/2)m}{{\text{V}}^{\text{2}}}\text{+(1/2) }\text{. m }\text{. (}{{\text{w}}^{\text{2}}}\text{) }\text{. (0}\text{,08}{{\text{)}}^{\text{2}}} \\ & {{v}^{\text{2}}}\text{ = 2g }\text{. (0}\text{,08) -}{{\text{w}}^{\text{2}}}\text{. (0}\text{,0}{{\text{8}}^{\text{2}}}\text{)} \\ & v\text{ = }\sqrt{\text{(0}\text{,31)}} \\ & v\text{ = 56cm/s} \\ \end{align}\] \)
c)
a massa do objeto é calculada por:

\(\[\begin{align} & \text{W = }\sqrt{\left( \text{k/m} \right)}\text{ } \\ & \text{wf = }\sqrt{\left( \text{k/m+0}\text{,3} \right)}\text{; } \\ & \text{Portanto }\frac{\text{W}}{\text{wf}}\text{ = 2 } \\ & \frac{\sqrt{\left( \text{k/m} \right)}}{\sqrt{\left( \text{k/m+0}\text{,3} \right)}\text{ }}\text{ = 2} \\ & \sqrt{\frac{\text{m+0}\text{,3}}{\text{m}}}\text{ = 4} \\ & \text{m + 0}\text{,3 = 4} \\ & \text{3m = 0}\text{,3 } \\ & \text{m = 0}\text{,1 Kg} \\ \end{align}\] \)
d)

A distância é calculada por:

\(\[\begin{align} & \sum{\text{Fy = 0}} \\ & \text{m }\text{. g = K }\text{. y} \\ & \text{m }\text{. g =m }\text{. (w}{{\text{f}}^{\text{2}}}\text{) }\text{. y} \\ & \text{y =}\frac{\text{g}}{\text{(w}{{\text{f}}^{\text{2}}}\text{)}} \\ & \text{y =}\frac{\text{g}}{(\frac{\text{w}{{\text{i}}^{\text{2}}}}{4}\text{)}} \\ & \text{y = 4 }\text{. }\frac{\text{g}}{\text{w}{{\text{i}}^{\text{2}}}} \\ & \text{y = 20cm} \\ \end{align}\] \)