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Retas e Planos

1)Encontre a distância entre os planos paralelos 2x-y+8z+=6 e 2x-y+8z+10= 0

2) Ache a equações paramétricas da reta s, simétrica da reta r em relação ao plano pi, sendo r determinada por A=(1,0,0) e B=(0,-1,-1) e pi dado por x+y-z=3

💡 2 Respostas

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Rodrigo Baltuilhe dos Santos

Bom dia!

1) Distância entre um ponto e plano pode ser calculada pela fórmula:

d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²), onde a, b, c e d são os termos da equação geral do plano ax+by+cz+d=0.

No caso, como os planos são paralelos, basta tomar um ponto de um plano e substituir na equação. Qualquer ponto serve, já que os planos sendo paralelos a distância entre seus pontos é a mesma.

2x-y+8z=6, tomemos o ponto (3,0,0), que satisfaz a equação.

Usando agora 2x-y+8z+10=0 como a equação do plano cuja distância ao ponto (3,0,0) desejamos saber, façamos:

d=|2.3-1.0+8.0+10|/√(2²+1²+8²)

d=16/√69=16√69/69

Se quiser utilizar outro método, podemos encontrar dois pontos quaisquer nos dois planos, podemos usar o Q=(3,0,0) e do outro plano P=(-5,0,0) (verifique!)

Montando o vetor PQ=(8,0,0) e projetar sobre a normal do plano. O tamanho da projeção ortogonal é a distância entre ambos os planos.

|proj PQ sobre n|=|PQ.n|/|n|=|(8,0,0).(2,-1,8)|/√(2²+1²+8²)

|8x2|/√69=16/√69, como havíamos encontrado anteriomente.

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Rodrigo Baltuilhe dos Santos

2) Equação paramétrica da reta s, que é simétrica da reta r em relação ao plano pi. Imagine que o plano pi é um espelho e a reta s é o reflexo da r sobre o espelho. Isso seria a simetria.

Para encontrar o simétrico dos pontos A e B sobre o plano pi, façamos:

Equação da reta que passa por A e é perpendicular ao plano pi:

(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,-1), onde t pertence aos reais.

Para encontrar a interseção com pi:

(1+t)+(0+t)-(0-t)=3

1+3t=3

t=2/3

Substituindo, (5/3,2/3,-2/3). Este é o ponto que A projeta no plano

Seu simétrico será:

(x,y,z)=(5/3,2/3,-2/3)+t(1,1,-1), onde t = 2/3

(x,y,z)=(7/3,4/3,-4/3) (simétrico de A em relação a pi)

Fazendo o mesmo com relação a B obtemos:

(x,y,z)=(0,-1,-1)+t(1,1,-1), onde t pertence aos reais.

(0+t)+(-1+t)-(-1-t)=3

3t=3

t=1

Então (x,y,z)=(1,0,-2)

O simétrico será:

(x,y,z)=(1,0,-2)+1(1,1,-1)=(2,1,-3)

Então, a equação da reta s será:

(7/3,4/3,-4/3)

(x,y,z)=(2,1,-3)+t(7/3-2,4/3-1,-4/3-(-3))

(x,y,z)=(2,1,-3)+t(1/3,1/3,5/3) 

Espero ter ajudado!

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