Sejam u = (2, 0, −1) e v = (1, −1, 1) vetores do IR3 .

Acredito que está formula te ajude a resolver o primeiro item da questão é só substituir o a da fórmula  por u.

São utilizados conceitos e relações de álgebra linear para obtenção dos itens pedidos. 

1. A projeção ortogonal de u sobre v é:

1. A distância entre u e v é dada por

1. O subespaço S gerado por u e v é denotado por:

Temos então que,

e, portanto, 

Utilizando a relação acima, temos que,

Portanto, o subespaço S gerado por u e v é descrito por:

1. Uma base ortogonal para S pode ser definida escolhendo um vetor   e encontrando um vetor   tal que   . Considerando o subespaço gerado S, pode-se verificar que  . Além disso, supondo um vetor   e   , então:

Somando as duas equações acima, encontramos que  . Assim, 

Portanto, os vetores   e   formam uma base ortogonal de S.

1. Esse vetor foi utilizado como referência para a obtenção da base ortogonal no exercício anterior, portanto pertence ao subespaço S.
2. Esboço do subespaço S:

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São utilizados conceitos e relações de álgebra linear para obtenção dos itens pedidos.

1. A projeção ortogonal de u sobre v é:




2. A distância entre u e v é dada por




3. O subespaço S gerado por u e v é denotado por:



5. Temos então que,



6. e, portanto,



7. Utilizando a relação acima, temos que,



8. Portanto, o subespaço S gerado por u e v é descrito por:



9. Uma base ortogonal para S pode ser definida escolhendo um vetor e encontrando um vetor tal que . Considerando o subespaço gerado S, pode-se verificar que . Além disso, supondo um vetor e , então:



10. Somando as duas equações acima, encontramos que . Assim,



11. Portanto, os vetores e formam uma base ortogonal de S.

13. Esse vetor foi utilizado como referência para a obtenção da base ortogonal no exercício anterior, portanto pertence ao subespaço S.

14. Esboço do subespaço S: