Como derivar números complexos?

acrescentando i

Dizemos que uma função f é diferenciável (derivável) em z (sua variável) se existir o limite:

Exemplo: Usando a definição (equação 1), a derivada da função complexa   é:

É importante observar que ∆z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura abaixo); logo a existência da derivada em (2.1) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente do caminho tomado.

Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas.

Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis. A imagem abaixo ilustra uma função não derivável. 

Exemplo: Usando a definição (equação 1), a derivada da função complexa   é:

O resultado é diferente quando o limite é aplicado primeiro em   e depois em   e quando é aplicado o limite em   e depois em  . Logo, nestes casos a derivada não existe.

Dizemos que uma função f é diferenciável (derivável) em z (sua variável) se existir o limite:

Exemplo: Usando a definição (equação 1), a derivada da função complexa é:

É importante observar que ∆z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura abaixo); logo a existência da derivada em (2.1) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente do caminho tomado.

Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas.

Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis. A imagem abaixo ilustra uma função não derivável.

Exemplo: Usando a definição (equação 1), a derivada da função complexa é:

O resultado é diferente quando o limite é aplicado primeiro em e depois em e quando é aplicado o limite em e depois em . Logo, nestes casos a derivada não existe.