A função f(x)= -x4+ 6x2-4 tem concavidade voltada para cima em qual dos intervalos abaixo?
A-]-4,-3]
B-[-3,-2]
C-]-3,-2[
D-]-2,-1[
E-]-1,1[
Boa tarde!
Vamos derivar a função duas vezes, pois a derivada segunda nos entrega a concavidade da função:
f(x)=-x^4+6x^2-4
f'(x)=-4x^3+12x
f''(x)=-12x^2+12
Igualando a última a zero:
-12x^2+12=0
12x^2=12
x^2=1
x=±1
Como a função f''(x) é uma parábola, com concavidade para baixo, e temos duas raízes, a função tem os seguintes sinais:
x<-1 ==> f''(x) < 0
-1 < x < 1 ==> f'(x) > 0 (concavidade para cima, f''(x) > 0)
x>1 ==> f'(x) < 0
Solução : E
Os pontos críticos de \(f(x)\) são:
\(\Longrightarrow { \partial f(x) \over \partial x} =0\)
\(\Longrightarrow { \partial \over \partial x}(-x^4 + 6x^2 - 4) =0\)
\(\Longrightarrow -4x^3 + 12x =0\)
\(\Longrightarrow x(-4x^2 + 12) =0\)
Então:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1 = 0 \\ -4x_2^2 + 12=0 \end{matrix} \right.\) \(\to \left \{ \begin{matrix} x_1 = 0 \\ 4x_2^2 = 12 \end{matrix} \right.\) \(\to \left \{ \begin{matrix} x_1 = 0 \\ x_2^2 = 3 \end{matrix} \right.\)
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = -3 \end{matrix} \right.\)
E a natureza desses pontos críticos são:
\(\Longrightarrow { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} = { \partial \over \partial x} \Big [ { \partial \over \partial x}(-x^4 + 6x^2 - 4) \Big ]\)
\(\Longrightarrow { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} = { \partial \over \partial x} \Big [-4x^3 + 12x \Big ]\)
\(\Longrightarrow { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} = -12x^2 + 12\)
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg |_{x_1 = 0} = -12 \cdot 0^2 + 12 \\ { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg |_{x_2 = 3} = -12 \cdot 3^2 + 12 \\ { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg |_{x_3 = -3} = -12 \cdot (-3)^2 + 12 \end{matrix} \right.\) \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg |_{x_1 = 0} = 12 > 0 \\ { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg |_{x_2 = 3} = -96 < 0 \\ { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} \bigg |_{x_3 = -3} = -96<0 \end{matrix} \right.\)
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1 = 0: \, \mbox {ponto minimo} \\ x_2 = 3: \, \mbox {ponto maximo} \\ x_3 = -3: \, \mbox {ponto maximo} \end{matrix} \right.\)
E os pontos de inflexão de \(f(x)\) são:
\(\Longrightarrow { \partial ^2 f(x) \over \partial x^2} =0\)
\(\Longrightarrow { \partial \over \partial x} \Big [ { \partial \over \partial x}(-x^4 + 6x^2 - 4) \Big ] =0\)
\(\Longrightarrow { \partial \over \partial x} \Big [-4x^3 + 12x \Big ] =0\)
\(\Longrightarrow -12x^2 + 12 =0\)
\(\Longrightarrow 12x^2 = 12 \)
\(\Longrightarrow x^2 = 1\) \(\to \left \{ \begin{matrix} x_4 = 1 \\ x_5 = -1 \end{matrix} \right.\)
O intervalo \(]-\infty; \, -1 ] \) contém o ponto crítico máximo \(x_3 = -3\). Portanto, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para baixo.
O intervalo \(]-1; \, 1 [\) contém o ponto crítico mínimo \(x_1 = 0\). Portanto, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para cima.
O intervalo \([1; \, +\infty [\) contém o ponto crítico máximo \(x_2 = 3\). Portanto, a concavidade de \(f(x)\) é voltada para baixo.
Concluindo, a resposta correta é: letra E \(]-1; \, 1 [\).
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