resolva a EDO

Boa tarde, Joelsa!

Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. Vou resolvê-la usando o método de variação de parâmetros.

Primeiro vamos resolver a equação homgênea associada a essa EDO:

y'' + 2y' - 3y = 0 (equação homogênea associada)

r² + 2r - 3 = 0 (equação característica)

r = 1 ou r = -3

Assim as duas soluções L.I. da equação homegêna associada são:

y_1(t) = e^t e y_2(t) = e^(-3t)

Portanto a função complementar é:
y_c(t) = c_1*e^t + c_2*e^(-3t) , onde c_1 e c_2 são constantes reais.

Calculando o Wronskiano de y_1 e y_2, temos:

W(y_1,y_2) = e^t*[-3e^(-3t)]-e^t*e^(-3t) = -4e^(-2t)

Vamos determinar então, uma solução particular para a EDO:

y'' + 2y' - 3y = e^t + sin(t)

Temos que:

f(t) = e^t + sin(t)

(u_1)' = [-y_2(t)*f(t)]/W(y_1,y_2)

(u_2)' = [y_1(t)*f(t)]/W(y_1,y_2)

Daí,

(u_1)' = -e^(3t)*[e^t + sin(t)]/-4e^(-2t) = 1/4 + [e^(-t)*sin(t)]/4

Integrando,

u_1(t) = t/4 - e^(-t)*[sin(t) + cos(t)]/8

E,

(u_2)' = e^t*[e^t + sin(t)]/-4e^(-2t) = -e^(4t)/4 - e^(3t)*sin(t)/4

Integrando,

u_2(t) = -e^(4t)/16 - e^(3t)*[cos(t) -3*sin(t)]/40

Assim, uma solução particular é dada por:

y_p(t) = u_1(t)*y_1(t) + u_2(t)*y_2(t)

y_p(t) = [t/4 - e^(-t)*[sin(t) + cos(t)]/8]*e^t + [-e^(4t)/16 - e^(3t)*[cos(t) -3*sin(t)]/40]*e^(-3t)

y_p(t) = t*e^t/4 - sin(t)/8 - cos(t)/8 - e^t/16 + cos(t)/40 - 3*sin(t)/40

y_p(t) = t*e^t/4 - e^t/16 - sin(t)/5 - cos(t)/10

Portanto, a solução geral da EDO é dada por:

y(t) = y_c(t) + y_p(t)

y(t) = c_1*e^t + c_2*e^(-3t) + t*e^t/4 - e^t/16 - sin(t)/5 - cos(t)/10 ;

onde c_1 e c_2 são constantes reais.

Espero ter ajudado! =)

Primeiramente, resolvemos a homogênea através da equação característica:

\(\lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0\)

E por Bhaskara, inferimos:

\(\lambda_1 = 1, \ \lambda_2 = -3\)

A partir das raízes, a solução geral da homogênea é dada em termos exponenciais:

\(y_g(t) = C_1e^{t} + C_2e^{-3t}\)

Partimos agora para encontrar uma solução particular da EDO fornecida. Com isso, somada essa solução à solução geral da homogênea, teremos a solução geral da EDO.

Dado que a EDO possui termos exponenciais e trigonométricos, podemos tentar uma combinação linear do tipo:

\(y_p(t) = ate^t + b\cos t + c\sin t \\ y'_p(t) = a(e^t + te^t) - b \sin t + c \cos t \\ y''_p(t) = a(2e^t + te^t) - b \cos t - c \sin t\)

Por fim, basta substituir essas parcelas na EDO:

\((a(2e^t + te^t ) - b \cos t - c \sin t)+2(a(e^t + te^t) - b \sin t + c \cos t)-3(ate^t + b\cos t + c\sin t)=e^t + sint\)

Por expansão e comparação dos termos, devemos obter, por sistema:

\(a = \frac{1}{4}, \ b = -\frac{1}{10}, \ c = -\frac{1}{5}\)

Logo, a solução da EDO é dada por:

\(y = y_g + y_p \\ \boxed{y(t) = C_1e^{t} + C_2e^{-3t} + \frac{1}{4}te^t - \frac{1}{10}\cos t - \frac{1}{5}\sin t}\)