Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações vetoriais e paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v.

Para a equação da reta precisamos de dois elementos: um ponto que a reta passa e uma direção.

Na forma vetorial, gostaríamos de escrever a equação da seguinte forma:

\(r: P = A + k\overrightarrow{v}, k \in \mathbb{R}\)

Onde P é o ponto que a reta passa para um determinado \(k\), \(A\) é nosso ponto onde a reta "começa" e \(\overrightarrow{v}\) é a direção da nossa reta. Logo, a equação vetorial ficaria da seguinte forma:

\(r: P = (2, 3, -4) + k(1, -2, 3), k \in \mathbb{R}\)

Na equação paramétrica, queremos parametrizar cada variável, ou seja, colocar cada coordenada em função de um parâmetro t. A carinha da equação paramétrica é a seguinte:

\(r: \begin{cases} x = x_0 + at\\ y = y_0 + bt\\ z = z_0 + ct \end{cases}\)

É bem parecido com a equação anterior. Dessa vez nós especificamos o ponto inicial para cada coordenada, assim como falamos a variação de cada uma delas com o parâmetro t. Colocando tudo dentro do mesmo parenteses temos, da equação vetorial:

\(r: P = (2 + k, 3 + 2k, -4 + 3k), k \in \mathbb{R}\)

Fica uma forma mais poluída, mas é melhor para transformar na equação paramétrica:

\(r: \begin{cases} x = 2 + 1k\\ y = 3 + 2k\\ z = -4 + 3k \end{cases}\)

Qualquer dúvida só avisar!

Queremos obter uma equação para representar a reta  r cuja direção é dada pelo vetor    (chamado, por este motivo, o vetor direção da reta) e que passa pelo ponto   . Para isso, observe que um ponto    pertence à reta  r se, e somente se, o vetor    é paralelo ao vetor   (este deve estar multiplicado a uma variável) (fonte: http://www.mat.ufmg.br/gaal/aulas_online/at4_01.html. Acesso em 07 de outubro de 2018). Assim, temos:

Estas três equações (para o espaço) são as equações paramétricas da reta r no espaço. 

E a equação vetorial no espaço, P, que passa pelo ponto   e tem a direção do vetor  é dada por: 

Assim, vamos calcular primeiro as equações paramétricas:

Agora, encontrando a equação vetorial:

¨

Assim, as respostas encontradas foi,   para as equações paramétricas e   para a equação vetorial.

Queremos obter uma equação para representar a reta r cuja direção é dada pelo vetor (chamado, por este motivo, o vetor direção da reta) e que passa pelo ponto . Para isso, observe que um ponto pertence à reta r se, e somente se, o vetor é paralelo ao vetor (este deve estar multiplicado a uma variável) (fonte: http://www.mat.ufmg.br/gaal/aulas_online/at4_01.html. Acesso em 07 de outubro de 2018). Assim, temos:

Estas três equações (para o espaço) são as equações paramétricas da reta r no espaço.

E a equação vetorial no espaço, P, que passa pelo ponto e tem a direção do vetor é dada por:

Assim, vamos calcular primeiro as equações paramétricas:

Agora, encontrando a equação vetorial:

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Assim, as respostas encontradas foi, para as equações paramétricas e para a equação vetorial.