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Alguém saberia resolver essa questão de análise econômica?

1. Supondo o modelo de Equilıbrio da Renda Nacional abaixo, agrupe o sistema de equaçoes no formato matricial: Ax=d, e, encontre Y*, T* e C* pelo metodo de Gauss-Jordan 
Y = C + I0 + G0
C = a + b(Y − T) : a < 0, 0 < b < 1
T = d + tY : d > 0, 0 < t < 1
(I0:Investimentos e G0:Gastos Autonomos)
(T:impostos)
(t:taxa de imposto sobre a Renda (coeficiente))


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Nesse exercício resolveremos o sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan.


Para começar, vamos reescrever o sistema dado de forma às variáveis ficarem do lado esquerdo e as constantes do lado direito:

$$\begin{cases}Y = C + I_0 + G_0\\C = a + b(Y − T)\\ T = d + tY\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}Y +0T - C = I_0 + G_0\\-bY+bT+C = a\\ -tY+T+0C = d\end{cases}$$

Escrevendo em forma de matriz completa, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ -b&b&1&a\\-t&1&0&d\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow bL_1+L_2$ e $L_3\rightarrow tL_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&b&1-b&a+b(I_0+G_0)\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_2\rightarrow {1\over b}L_2$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_3\rightarrow L_3-L_2$, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1-t-{1\over b}&d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Normalizando a última linha:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow L_2+\left(1-{1\over b}\right)L_3$ e $L_1\rightarrow L_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&I_0+G_0+{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Simplificando:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&{d-{a\over b}-{1\over b}(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$


Resumindo:

$$\boxed{Y={d-{1\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{T={\left(1-{1\over b}\right)d-{t\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{C={d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}$$

Nesse exercício resolveremos o sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan.


Para começar, vamos reescrever o sistema dado de forma às variáveis ficarem do lado esquerdo e as constantes do lado direito:

$$\begin{cases}Y = C + I_0 + G_0\\C = a + b(Y − T)\\ T = d + tY\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}Y +0T - C = I_0 + G_0\\-bY+bT+C = a\\ -tY+T+0C = d\end{cases}$$

Escrevendo em forma de matriz completa, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ -b&b&1&a\\-t&1&0&d\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow bL_1+L_2$ e $L_3\rightarrow tL_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&b&1-b&a+b(I_0+G_0)\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_2\rightarrow {1\over b}L_2$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_3\rightarrow L_3-L_2$, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1-t-{1\over b}&d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Normalizando a última linha:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow L_2+\left(1-{1\over b}\right)L_3$ e $L_1\rightarrow L_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&I_0+G_0+{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Simplificando:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&{d-{a\over b}-{1\over b}(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$


Resumindo:

$$\boxed{Y={d-{1\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{T={\left(1-{1\over b}\right)d-{t\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{C={d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}$$

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Andre Smaira

Há mais de um mês

Nesse exercício resolveremos o sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan.


Para começar, vamos reescrever o sistema dado de forma às variáveis ficarem do lado esquerdo e as constantes do lado direito:

$$\begin{cases}Y = C + I_0 + G_0\\C = a + b(Y − T)\\ T = d + tY\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}Y +0T - C = I_0 + G_0\\-bY+bT+C = a\\ -tY+T+0C = d\end{cases}$$

Escrevendo em forma de matriz completa, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ -b&b&1&a\\-t&1&0&d\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow bL_1+L_2$ e $L_3\rightarrow tL_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&b&1-b&a+b(I_0+G_0)\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_2\rightarrow {1\over b}L_2$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_3\rightarrow L_3-L_2$, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1-t-{1\over b}&d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Normalizando a última linha:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow L_2+\left(1-{1\over b}\right)L_3$ e $L_1\rightarrow L_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&I_0+G_0+{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Simplificando:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&{d-{a\over b}-{1\over b}(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$


Resumindo:

$$\boxed{Y={d-{1\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{T={\left(1-{1\over b}\right)d-{t\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{C={d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}$$

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Andre Smaira

Há mais de um mês

Nesse exercício resolveremos o sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan.


Para começar, vamos reescrever o sistema dado de forma às variáveis ficarem do lado esquerdo e as constantes do lado direito:

$$\begin{cases}Y = C + I_0 + G_0\\C = a + b(Y − T)\\ T = d + tY\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}Y +0T - C = I_0 + G_0\\-bY+bT+C = a\\ -tY+T+0C = d\end{cases}$$

Escrevendo em forma de matriz completa, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ -b&b&1&a\\-t&1&0&d\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow bL_1+L_2$ e $L_3\rightarrow tL_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&b&1-b&a+b(I_0+G_0)\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_2\rightarrow {1\over b}L_2$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&1&-t&d+t(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Fazendo agora $L_3\rightarrow L_3-L_2$, temos:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1-t-{1\over b}&d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\end{pmatrix}$$

Normalizando a última linha:

$$\begin{pmatrix}1&0&-1&I_0+G_0\\ 0&1&{1\over b}-1&{a\over b}+I_0+G_0\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Fazendo $L_2\rightarrow L_2+\left(1-{1\over b}\right)L_3$ e $L_1\rightarrow L_1+L_3$, ficamos com:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&I_0+G_0+{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$

Simplificando:

$$\begin{pmatrix}1&0&0&{d-{a\over b}-{1\over b}(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\ 0&1&0&{a\over b}+I_0+G_0+\left(1-{1\over b}\right){d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\\0&0&1&{d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}\end{pmatrix}$$


Resumindo:

$$\boxed{Y={d-{1\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{T={\left(1-{1\over b}\right)d-{t\over b}(a+I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}\\\boxed{C={d-{a\over b}+(t-1)(I_0+G_0)\over 1-t-{1\over b}}}$$

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas