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2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Neste exercício deveremos usar nossos conhecimento de valor médio para derivadas e estende-los ao conceito de integrais.


(a)

Do teorema do valor médio para derivadas temos que: Seja f uma função contínua e diferenciável em (a,b). Então existe um número c tal que


Agora, estendendo o teorema do valor médio para as integrais, vem: Seja uma função contínua em . Então, para algum , temos:


Mas como é contínua em , então ela é limitada por esse intervalo. Se é o valor mínimo da função no ponto e o valor máximo da função no ponto e que , então:


Se integrarmos a expressão anterior, teremos que:

mas e são constantes, então pela propriedade da integral definida de uma constante e a definição da integral definida como o limite da soma de Riemann, temos:

E dividindo toda a expressão por chegamos na expressão abaixo:


Então podemos dizer que existe um , onde ou que resulta em ou. Então, podemos afirmar que é igual a um ponto de máximo ou mínimo. Em outras palavras:

Agora, observe um gráfico genérico para a função e que :

A área expressa pelo retângulo de lado e altura é:


Mas, como a integral definida , pelo teorema do valor médio para integrais, vale , podemos dizer, então que ela é igual a área do retângulo de lados e .


Portanto, a equaçãoé a área do retângulo de ladoe.


(b)

Sabemos que, para calcular o valor médio de uma função num interval [a,b] usamos:

Mas, pelo enunciado, , (modelo 24 hrs) e e , então:


Aplicando as propriedades da integral em temos:


Mas , substituindo em (II), temos:

, aplicando

a propriedade da soma, temos que,


Substituindo o valor que encontramos no passo anterior na equação (I), temos:


Portanto, a temperatura media é .

Neste exercício deveremos usar nossos conhecimento de valor médio para derivadas e estende-los ao conceito de integrais.


(a)

Do teorema do valor médio para derivadas temos que: Seja f uma função contínua e diferenciável em (a,b). Então existe um número c tal que


Agora, estendendo o teorema do valor médio para as integrais, vem: Seja uma função contínua em . Então, para algum , temos:


Mas como é contínua em , então ela é limitada por esse intervalo. Se é o valor mínimo da função no ponto e o valor máximo da função no ponto e que , então:


Se integrarmos a expressão anterior, teremos que:

mas e são constantes, então pela propriedade da integral definida de uma constante e a definição da integral definida como o limite da soma de Riemann, temos:

E dividindo toda a expressão por chegamos na expressão abaixo:


Então podemos dizer que existe um , onde ou que resulta em ou. Então, podemos afirmar que é igual a um ponto de máximo ou mínimo. Em outras palavras:

Agora, observe um gráfico genérico para a função e que :

A área expressa pelo retângulo de lado e altura é:


Mas, como a integral definida , pelo teorema do valor médio para integrais, vale , podemos dizer, então que ela é igual a área do retângulo de lados e .


Portanto, a equaçãoé a área do retângulo de ladoe.


(b)

Sabemos que, para calcular o valor médio de uma função num interval [a,b] usamos:

Mas, pelo enunciado, , (modelo 24 hrs) e e , então:


Aplicando as propriedades da integral em temos:


Mas , substituindo em (II), temos:

, aplicando

a propriedade da soma, temos que,


Substituindo o valor que encontramos no passo anterior na equação (I), temos:


Portanto, a temperatura media é .

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Andre

Há mais de um mês

 

Agora, estendendo o teorema do valor médio para as integrais, vem: Seja  uma função contínua em  . Então, para algum  , temos


Mas como   é contínua em  , então ela é limitada por esse intervalo. Se  é o valor mínimo da função no ponto   e   o valor máximo da função no ponto   e que  , então:


Se integrarmos a expressão anterior, teremos que:

 ,

mas  e   são constantes, então pela propriedade da integral definida de uma constante e a definição da integral definida como o limite da soma de Riemann, temos:

E dividindo toda a expressão por   chegamos na expressão abaixo:

Então podemos dizer que existe um  , onde  ou   que resulta em   ou . Então, podemos afirmar que   é igual a um ponto de máximo ou mínimo. Em outras palavras:


Agora, observe um gráfico genérico para a função   e que  :

A área expressa pelo retângulo de lado   e altura   é:


Mas, como a integral definida  , pelo teorema do valor médio para integrais, vale  , podemos dizer, então que ela é igual a área do retângulo de lados   e  .


Portanto, a equação é a área do retângulo de lado e .

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas