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verifique se os sistema abaixo são normais e resolva

Álgebra Linear IEngenharias

4 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar sistemas de equações normais.


Para começar vamos entender o que é um sistema de equações normal: número de equações igual ao número de incógnitas e determinante da matriz incompleta não nulo.


Vamos começar por escrever a matriz:

$$A=\begin{pmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{pmatrix}$$

Para o seu determinante:

$$\begin{aligned}\Delta=det(A)&=\begin{vmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{vmatrix}\\&=1\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot(-3)\\&=24+21-6-4-42+18\\&=11\end{aligned}$$

Obtemos $det(A)\neq0$, o que mostra que temos um sistema normal. Para esse tipo de sistema, podemos usar a regra de Crammer. Por ela, o valor de cada variável é obtido dividindo o determinante da matriz com a coluna da variável substituída pela coluna de resultados dividido pelo determinante já obtido:

$$\begin{aligned}x&={\Delta X\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}6&-3&-1\\17&4&7\\19&6&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={6\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot19+(-1)\cdot17\cdot6-19\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot6-6\cdot17\cdot(-3)\over11}\\&={144-399-102+76-252+306\over11}\\&=-{227\over11}\end{aligned}$$

Para a segunda variável:

$$\begin{aligned}y&={\Delta Y\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&6&-1\\1&17&7\\-1&19&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot17\cdot6+6\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot19-(-1)\cdot17\cdot(-1)-19\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot6\over11}\\&={102-42-19-17-133-36\over11}\\&=-{145\over11}\end{aligned}$$

E para a última:

$$\begin{aligned}z&={\Delta Z\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&-3&6\\1&4&17\\-1&6&19\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot4\cdot19+(-3)\cdot17\cdot(-1)+6\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot6-6\cdot17\cdot1-19\cdot1\cdot(-3)\over11}\\&={76+51+36+24-102+57\over11}\\&={142\over11}\end{aligned}$$


Concluímos, portanto, que o sistema é normal e seu conjunto solução é dado por:

$$\boxed{S=\left\{\left(-{227\over11},-{145\over11},{142\over11}\right)\right\}}$$

Nesse exercício vamos estudar sistemas de equações normais.


Para começar vamos entender o que é um sistema de equações normal: número de equações igual ao número de incógnitas e determinante da matriz incompleta não nulo.


Vamos começar por escrever a matriz:

$$A=\begin{pmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{pmatrix}$$

Para o seu determinante:

$$\begin{aligned}\Delta=det(A)&=\begin{vmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{vmatrix}\\&=1\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot(-3)\\&=24+21-6-4-42+18\\&=11\end{aligned}$$

Obtemos $det(A)\neq0$, o que mostra que temos um sistema normal. Para esse tipo de sistema, podemos usar a regra de Crammer. Por ela, o valor de cada variável é obtido dividindo o determinante da matriz com a coluna da variável substituída pela coluna de resultados dividido pelo determinante já obtido:

$$\begin{aligned}x&={\Delta X\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}6&-3&-1\\17&4&7\\19&6&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={6\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot19+(-1)\cdot17\cdot6-19\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot6-6\cdot17\cdot(-3)\over11}\\&={144-399-102+76-252+306\over11}\\&=-{227\over11}\end{aligned}$$

Para a segunda variável:

$$\begin{aligned}y&={\Delta Y\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&6&-1\\1&17&7\\-1&19&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot17\cdot6+6\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot19-(-1)\cdot17\cdot(-1)-19\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot6\over11}\\&={102-42-19-17-133-36\over11}\\&=-{145\over11}\end{aligned}$$

E para a última:

$$\begin{aligned}z&={\Delta Z\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&-3&6\\1&4&17\\-1&6&19\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot4\cdot19+(-3)\cdot17\cdot(-1)+6\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot6-6\cdot17\cdot1-19\cdot1\cdot(-3)\over11}\\&={76+51+36+24-102+57\over11}\\&={142\over11}\end{aligned}$$


Concluímos, portanto, que o sistema é normal e seu conjunto solução é dado por:

$$\boxed{S=\left\{\left(-{227\over11},-{145\over11},{142\over11}\right)\right\}}$$

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Andre

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar sistemas de equações normais.


Para começar vamos entender o que é um sistema de equações normal: número de equações igual ao número de incógnitas e determinante da matriz incompleta não nulo.


Vamos começar por escrever a matriz:

$$A=\begin{pmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{pmatrix}$$

Para o seu determinante:

$$\begin{aligned}\Delta=det(A)&=\begin{vmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{vmatrix}\\&=1\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot(-3)\\&=24+21-6-4-42+18\\&=11\end{aligned}$$

Obtemos $det(A)\neq0$, o que mostra que temos um sistema normal. Para esse tipo de sistema, podemos usar a regra de Crammer. Por ela, o valor de cada variável é obtido dividindo o determinante da matriz com a coluna da variável substituída pela coluna de resultados dividido pelo determinante já obtido:

$$\begin{aligned}x&={\Delta X\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}6&-3&-1\\17&4&7\\19&6&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={6\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot19+(-1)\cdot17\cdot6-19\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot6-6\cdot17\cdot(-3)\over11}\\&={144-399-102+76-252+306\over11}\\&=-{227\over11}\end{aligned}$$

Para a segunda variável:

$$\begin{aligned}y&={\Delta Y\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&6&-1\\1&17&7\\-1&19&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot17\cdot6+6\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot19-(-1)\cdot17\cdot(-1)-19\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot6\over11}\\&={102-42-19-17-133-36\over11}\\&=-{145\over11}\end{aligned}$$

E para a última:

$$\begin{aligned}z&={\Delta Z\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&-3&6\\1&4&17\\-1&6&19\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot4\cdot19+(-3)\cdot17\cdot(-1)+6\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot6-6\cdot17\cdot1-19\cdot1\cdot(-3)\over11}\\&={76+51+36+24-102+57\over11}\\&={142\over11}\end{aligned}$$


Concluímos, portanto, que o sistema é normal e seu conjunto solução é dado por:

$$\boxed{S=\left\{\left(-{227\over11},-{145\over11},{142\over11}\right)\right\}}$$

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Andre

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos estudar sistemas de equações normais.


Para começar vamos entender o que é um sistema de equações normal: número de equações igual ao número de incógnitas e determinante da matriz incompleta não nulo.


Vamos começar por escrever a matriz:

$$A=\begin{pmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{pmatrix}$$

Para o seu determinante:

$$\begin{aligned}\Delta=det(A)&=\begin{vmatrix}1&-3&-1\\1&4&7\\-1&6&6\end{vmatrix}\\&=1\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot(-3)\\&=24+21-6-4-42+18\\&=11\end{aligned}$$

Obtemos $det(A)\neq0$, o que mostra que temos um sistema normal. Para esse tipo de sistema, podemos usar a regra de Crammer. Por ela, o valor de cada variável é obtido dividindo o determinante da matriz com a coluna da variável substituída pela coluna de resultados dividido pelo determinante já obtido:

$$\begin{aligned}x&={\Delta X\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}6&-3&-1\\17&4&7\\19&6&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={6\cdot4\cdot6+(-3)\cdot7\cdot19+(-1)\cdot17\cdot6-19\cdot4\cdot(-1)-6\cdot7\cdot6-6\cdot17\cdot(-3)\over11}\\&={144-399-102+76-252+306\over11}\\&=-{227\over11}\end{aligned}$$

Para a segunda variável:

$$\begin{aligned}y&={\Delta Y\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&6&-1\\1&17&7\\-1&19&6\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot17\cdot6+6\cdot7\cdot(-1)+(-1)\cdot1\cdot19-(-1)\cdot17\cdot(-1)-19\cdot7\cdot1-6\cdot1\cdot6\over11}\\&={102-42-19-17-133-36\over11}\\&=-{145\over11}\end{aligned}$$

E para a última:

$$\begin{aligned}z&={\Delta Z\over\Delta}\\&={\begin{vmatrix}1&-3&6\\1&4&17\\-1&6&19\end{vmatrix}\over 11}\\&={1\cdot4\cdot19+(-3)\cdot17\cdot(-1)+6\cdot1\cdot6-(-1)\cdot4\cdot6-6\cdot17\cdot1-19\cdot1\cdot(-3)\over11}\\&={76+51+36+24-102+57\over11}\\&={142\over11}\end{aligned}$$


Concluímos, portanto, que o sistema é normal e seu conjunto solução é dado por:

$$\boxed{S=\left\{\left(-{227\over11},-{145\over11},{142\over11}\right)\right\}}$$

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Douglas Raul

Há mais de um mês

a solução do sistema é: {(-227/11;-145/11;142/11)}

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas