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Determine a força em cada cabo para suportar a carga de 2,5kN


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Há mais de um mês

Neste exercício temos que o conceito mais importante é o de que a força resultante que sobre o ponto C é igual a zero. Isso significa que a força resultante em cada eixo, eixos x, y e z, têm que ser nula.


Para resolver este exercício vamos definir as forças referentes ao três cabos: cabo CA, cabo CB e cabo CD, logo, respectivamente a força resultante desses cabos são: $\vec{F}_{CA}$, $\vec{F}_{CB}$ e $\vec{F}_{CD}$. Agora precisamos escrever as componentes do eixo x, y e z dessas três forças:

$$\vec{F}_{CA}=F_{CA}\cos\theta_1\hat{x}-F_{CA}\sin\theta_1\hat{y}$$

$$\vec{F}_{CB}=-F_{CB}\cos\theta_2\hat{x}-F_{CB}\sin\theta_2\hat{y}$$

$$\vec{F}_{CD}=+F_{CD}\cos\theta_3\hat{y}+F_{CD}\sin\theta_3\hat{z}$$

onde $\theta_1$ é o ângulo formado entre o eixo y e o cabo CA, $\theta_2$ é o ângulo formato entre o eixo y e o cabo CB e $\theta_3$ é o ângulo formado entre o eixo y e o cabo CD. Notemos que os senos e cossenos desses ângulos podem ser obtidos através das relações do triângulo retângulo. Como o objeto está parado, temos que as somas das forças em cada componente têm de ser nula, logo: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ e $\sum F_z$=0$. Comecemos pelo eixo z, onde temos apenas uma componente da força $\vec{F}_{CD}$ e a carga de 2,5kN. Portanto

$$F_{CD}\sin\theta_3–2,5\text{kN}=0\Rightarrow F_{CD}=\frac{2,5\text{kN}5}{4}=3,125\text{kN}.$$

Agora, para calcular as outras componentes, precisamos resolver o seguinte sistema:

$$F_{CA}\cos\theta_1-F_{CB}\cos\theta_2=0$$

$$-F_{CA}\sin\theta_1-F_{CB}\sin\theta_2+F_{CD}\cos\theta_3=0$$

Notemos que $\theta_1=\theta_2$ pois os triângulos retângulos são iguais. Então, segue

$$F_{CA}=F_{CB}$$. Agora utilizando a última relação, obtemos:

$$F_{CA}\sin\theta_1+F_{CA}\sin\theta_1=F_{CD}\cos\theta_3\Rightarrow 2F_{CA}\sin\theta_1=F_{CD}\cos\theta_3$$

$$F_{CA}=\frac{\cos\theta_3}{2\sin\theta_1}F_{CD}=\frac{\frac{3}{5}}{2\frac{1}{\sqrt{10}}}3,125\text{kN}=2,965\text{kN}$$

Portanto, chegamos que a intensidade da força em cada cabo para sustentar a carga é de $F_{CA}=2,965\text{kN}$, $F_{CB}=2,965\text{kN}$ e $F_{CD}=3,125\text{kN}$.


Enfim, concluímos que o vetor força em cada cabo para sustentar a carga de 2,5kN é de

$$\boxed{\vec{F}_{CA}=2,8\hat{x}-0,9\hat{y}+0,0\hat{z}},$$

$$\boxed{\vec{F}_{CB}=-2,8\hat{x}-0,9\hat{y}+0,0\hat{z}},$$

$$\boxed{\vec{F}_{CD}=0,0\hat{x}+1,9\hat{y}+2,5\hat{z}},$$

cujas intensidades são $\boxed{F_{CA}=2,965\text{kN}}$, $\boxed{F_{CB}=2,965\text{kN}}$ e $\boxed{F_{CD}=3,125\text{kN}}$.

Neste exercício temos que o conceito mais importante é o de que a força resultante que sobre o ponto C é igual a zero. Isso significa que a força resultante em cada eixo, eixos x, y e z, têm que ser nula.


Para resolver este exercício vamos definir as forças referentes ao três cabos: cabo CA, cabo CB e cabo CD, logo, respectivamente a força resultante desses cabos são: $\vec{F}_{CA}$, $\vec{F}_{CB}$ e $\vec{F}_{CD}$. Agora precisamos escrever as componentes do eixo x, y e z dessas três forças:

$$\vec{F}_{CA}=F_{CA}\cos\theta_1\hat{x}-F_{CA}\sin\theta_1\hat{y}$$

$$\vec{F}_{CB}=-F_{CB}\cos\theta_2\hat{x}-F_{CB}\sin\theta_2\hat{y}$$

$$\vec{F}_{CD}=+F_{CD}\cos\theta_3\hat{y}+F_{CD}\sin\theta_3\hat{z}$$

onde $\theta_1$ é o ângulo formado entre o eixo y e o cabo CA, $\theta_2$ é o ângulo formato entre o eixo y e o cabo CB e $\theta_3$ é o ângulo formado entre o eixo y e o cabo CD. Notemos que os senos e cossenos desses ângulos podem ser obtidos através das relações do triângulo retângulo. Como o objeto está parado, temos que as somas das forças em cada componente têm de ser nula, logo: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ e $\sum F_z$=0$. Comecemos pelo eixo z, onde temos apenas uma componente da força $\vec{F}_{CD}$ e a carga de 2,5kN. Portanto

$$F_{CD}\sin\theta_3–2,5\text{kN}=0\Rightarrow F_{CD}=\frac{2,5\text{kN}5}{4}=3,125\text{kN}.$$

Agora, para calcular as outras componentes, precisamos resolver o seguinte sistema:

$$F_{CA}\cos\theta_1-F_{CB}\cos\theta_2=0$$

$$-F_{CA}\sin\theta_1-F_{CB}\sin\theta_2+F_{CD}\cos\theta_3=0$$

Notemos que $\theta_1=\theta_2$ pois os triângulos retângulos são iguais. Então, segue

$$F_{CA}=F_{CB}$$. Agora utilizando a última relação, obtemos:

$$F_{CA}\sin\theta_1+F_{CA}\sin\theta_1=F_{CD}\cos\theta_3\Rightarrow 2F_{CA}\sin\theta_1=F_{CD}\cos\theta_3$$

$$F_{CA}=\frac{\cos\theta_3}{2\sin\theta_1}F_{CD}=\frac{\frac{3}{5}}{2\frac{1}{\sqrt{10}}}3,125\text{kN}=2,965\text{kN}$$

Portanto, chegamos que a intensidade da força em cada cabo para sustentar a carga é de $F_{CA}=2,965\text{kN}$, $F_{CB}=2,965\text{kN}$ e $F_{CD}=3,125\text{kN}$.


Enfim, concluímos que o vetor força em cada cabo para sustentar a carga de 2,5kN é de

$$\boxed{\vec{F}_{CA}=2,8\hat{x}-0,9\hat{y}+0,0\hat{z}},$$

$$\boxed{\vec{F}_{CB}=-2,8\hat{x}-0,9\hat{y}+0,0\hat{z}},$$

$$\boxed{\vec{F}_{CD}=0,0\hat{x}+1,9\hat{y}+2,5\hat{z}},$$

cujas intensidades são $\boxed{F_{CA}=2,965\text{kN}}$, $\boxed{F_{CB}=2,965\text{kN}}$ e $\boxed{F_{CD}=3,125\text{kN}}$.

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Andre

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Neste exercício temos que o conceito mais importante é o de que a força resultante que sobre o ponto C é igual a zero. Isso significa que a força resultante em cada eixo, eixos x, y e z, têm que ser nula.


Para resolver este exercício vamos definir as forças referentes ao três cabos: cabo CA, cabo CB e cabo CD, logo, respectivamente a força resultante desses cabos são: $\vec{F}_{CA}$, $\vec{F}_{CB}$ e $\vec{F}_{CD}$. Agora precisamos escrever as componentes do eixo x, y e z dessas três forças:

$$\vec{F}_{CA}=F_{CA}\cos\theta_1\hat{x}-F_{CA}\sin\theta_1\hat{y}$$

$$\vec{F}_{CB}=-F_{CB}\cos\theta_2\hat{x}-F_{CB}\sin\theta_2\hat{y}$$

$$\vec{F}_{CD}=+F_{CD}\cos\theta_3\hat{y}+F_{CD}\sin\theta_3\hat{z}$$

onde $\theta_1$ é o ângulo formado entre o eixo y e o cabo CA, $\theta_2$ é o ângulo formato entre o eixo y e o cabo CB e $\theta_3$ é o ângulo formado entre o eixo y e o cabo CD. Notemos que os senos e cossenos desses ângulos podem ser obtidos através das relações do triângulo retângulo. Como o objeto está parado, temos que as somas das forças em cada componente têm de ser nula, logo: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$ e $\sum F_z$=0$. Comecemos pelo eixo z, onde temos apenas uma componente da força $\vec{F}_{CD}$ e a carga de 2,5kN. Portanto

$$F_{CD}\sin\theta_3–2,5\text{kN}=0\Rightarrow F_{CD}=\frac{2,5\text{kN}5}{4}=3,125\text{kN}.$$

Agora, para calcular as outras componentes, precisamos resolver o seguinte sistema:

$$F_{CA}\cos\theta_1-F_{CB}\cos\theta_2=0$$

$$-F_{CA}\sin\theta_1-F_{CB}\sin\theta_2+F_{CD}\cos\theta_3=0$$

Notemos que $\theta_1=\theta_2$ pois os triângulos retângulos são iguais. Então, segue

$$F_{CA}=F_{CB}$$. Agora utilizando a última relação, obtemos:

$$F_{CA}\sin\theta_1+F_{CA}\sin\theta_1=F_{CD}\cos\theta_3\Rightarrow 2F_{CA}\sin\theta_1=F_{CD}\cos\theta_3$$

$$F_{CA}=\frac{\cos\theta_3}{2\sin\theta_1}F_{CD}=\frac{\frac{3}{5}}{2\frac{1}{\sqrt{10}}}3,125\text{kN}=2,965\text{kN}$$

Portanto, chegamos que a intensidade da força em cada cabo para sustentar a carga é de $F_{CA}=2,965\text{kN}$, $F_{CB}=2,965\text{kN}$ e $F_{CD}=3,125\text{kN}$.


Enfim, concluímos que o vetor força em cada cabo para sustentar a carga de 2,5kN é de

$$\boxed{\vec{F}_{CA}=2,8\hat{x}-0,9\hat{y}+0,0\hat{z}},$$

$$\boxed{\vec{F}_{CB}=-2,8\hat{x}-0,9\hat{y}+0,0\hat{z}},$$

$$\boxed{\vec{F}_{CD}=0,0\hat{x}+1,9\hat{y}+2,5\hat{z}},$$

cujas intensidades são $\boxed{F_{CA}=2,965\text{kN}}$, $\boxed{F_{CB}=2,965\text{kN}}$ e $\boxed{F_{CD}=3,125\text{kN}}$.

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