Qual a transformada de fourier de u(-t) ?

https://www.passeidireto.com/arquivo/16449075/transformada-de-fourier

O primeiro passo é identificar quem é a função e em seguida fazermos sua transformada de fourier utilizando suas propriedades. A função é comumente chamada de função degrau unitário porque ela tem a seguinte definição:

Seu gráfico pode ser visualizado na figura 1 abaixo:

Figura 1 – gráfico da função

Se trocarmos por , teremos agora o seguinte:

Em outras palavras, podemos escrever a seguinte propriedade da função impulso unitário:

Dada com tranformada de Fourier . Uma importante propriedade da transformada de Fourier é que:

Ou seja, para descobrirmos a transformada de Fourier de basta encontrarmos a transformada de e substituir por .

Existe uma função chamada função sinal. Ela é dada por:

Figura 2 – função sinal.

E sua transformada de Fourier é conhecida:

Se observarmos melhor o gráfico das duas funções, podemos perceber que a função é a função só que acrescida de uma unidade no seu eixo y e seu modulo dividido por 2:

Fgura 3 – funções sinal e sinal adicionada em uma unidade.

Figura 4 – Relação entre a função degrau unitário e a função sinal.

Portanto a função degrau unitário na verdade pode ser escrita como:

Por fim, utilizando as seguintes propriedades da transformada de Fourier

e as usando na equação , junto com a propriedade :

Mas como , então:

Portanto a transformada de Fourier de é dada por

Referências

Figura 1 –

https://www.intmath.com/laplace-transformation/1a-unit-step-functions-definition.php

Figura 2 – http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txe3ba4j.htm

Figura 3 – Autoria própria

Figura 4 – Autoria própria

O primeiro passo é identificar quem é a função e em seguida fazermos sua transformada de fourier utilizando suas propriedades. A função é comumente chamada de função degrau unitário porque ela tem a seguinte definição:

Seu gráfico pode ser visualizado na figura 1 abaixo:

Figura 1 – gráfico da função

Se trocarmos por , teremos agora o seguinte:

Em outras palavras, podemos escrever a seguinte propriedade da função impulso unitário:

Dada com tranformada de Fourier . Uma importante propriedade da transformada de Fourier é que:

Ou seja, para descobrirmos a transformada de Fourier de basta encontrarmos a transformada de e substituir por .

Existe uma função chamada função sinal. Ela é dada por:

Figura 2 – função sinal.

E sua transformada de Fourier é conhecida:

Se observarmos melhor o gráfico das duas funções, podemos perceber que a função é a função só que acrescida de uma unidade no seu eixo y e seu modulo dividido por 2:

Fgura 3 – funções sinal e sinal adicionada em uma unidade.

Figura 4 – Relação entre a função degrau unitário e a função sinal.

Portanto a função degrau unitário na verdade pode ser escrita como:

Por fim, utilizando as seguintes propriedades da transformada de Fourier

e as usando na equação , junto com a propriedade :

Mas como , então:

Portanto a transformada de Fourier de é dada por

Referências

Figura 1 –

https://www.intmath.com/laplace-transformation/1a-unit-step-functions-definition.php

Figura 2 – http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txe3ba4j.htm

Figura 3 – Autoria própria

Figura 4 – Autoria própria