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transformar sentencas abertas em sentenças, sem usar os quantoficadores

Lógica IUESPI

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Há mais de um mês

Contextualização:

Sentenças abertas e quantificadores:

O que fazer com as frases genéricas da Matemática?

A simples frase matemática não é uma proposição, por não ter um valor lógico definido. Esse exemplo nos mostra que, apesar de útil e imprescindível, a lógica proposicional não é suficiente para se estudar Matemática: temos que, de alguma forma, generalizar a lógica proposicional.

Essa generalização da lógica proposicional é denominada Lógica de Predicados, ou Lógica de primeira ordem.

Sentenças abertas e variáveis:

Voltemos à frase ; não é possível atribuirmos a ela um valor lógico, já que nela aparece um símbolo, a letra x, que representa um objeto não identificado explicitamente. A frase "" é um exemplo do que a lógica denomina "sentença aberta" e a letra x é a "variável" dessa sentença aberta. Embora não seja possível classificar essa frase em verdadeira ou falsa, se for atribuído um valor a x, por exemplo, 5 ou 10, a frase resultante – "" – é uma proposição (verdadeira no primeiro caso e, falsa, no segundo).

Sentenças abertas não são apenas aquelas que envolvem variáveis numéricas; variáveis podem representar outros tipos de valores, por exemplo, cidades ou pessoas: "z é a capital do Japão."; "Ela é minha prima.". Se a z atribuir-se o conteúdo Tóquio, a primeira sentença será verdadeira; caso contrário, será falsa. Se a palavra "Ela" for substituída pelo nome de uma das filhas de uma tia minha, a segunda sentença será verdadeira.

Assim, de maneira informal, as sentenças abertas são orações declarativas que, a princípio, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (embora tenham sentido completo), por fazerem referências a objetos não nomeados explicitamente. Fixada uma sentença aberta, os símbolos (geralmente letras minúsculas) que representam os objetos não explícitos (sujeitos lógicos) são as variáveis da sentença aberta. As variáveis, ao serem substituídas por elementos de um determinado conjunto (o conjunto universo da variável ou o universo do discurso), definem proposições propriamente ditas.

Seja U um conjunto não vazio. Uma sentença aberta em U é uma regra que associa a cada elemento u de U uma única proposição .

O conjunto U é chamado de domínio da variável x, ou conjunto universo, e cada elemento é dito um valor da variável x.


Resolução:

Pelo exposto, uma sentença aberta com variável x em um conjunto U é uma expressão tal que, para cada objeto u do conjunto U, a substituição de x por u na expressão resulta em uma expressão verdadeira ou falsa. Também é importante observar que, se U é o produto cartesiano dos conjuntos , isto é, , então e, neste caso, temos uma sentença aberta de n variáveis . Dessa forma, sentenças abertas podem ter uma quantidade qualquer de variáveis.

Exemplos:

(1) .

Fazendo a substituição , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição , obtemos a proposição falsa

(2) .

Fazendo a substituição , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição (x1, x2)=(−3, −2)(x1, x2)=(−3, −2), obtemos a proposição falsa

Sentenças abertas generalizam, de certa forma, as proposições; portanto podemos usar os mesmos conectivos usados com as proposições para obter novas sentenças abertas, a partir de outras mais simples. Assim, dadas as sentenças abertas e no conjunto U podemos obter novas sentenças abertas como:

Quantificadores:

A partir da discussão acima, podemos observar que, de modo geral, frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta. Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.

Considerando a sentença aberta no conjunto dos números naturais, note que, se fixarmos , obtemos a proposição verdadeira , que é uma maneira diferente de escrever ; ao passo que se fixarmos , obtemos a proposição falsa .

Você disse a verdade é uma sentença aberta (não dá para saber se é verdade ou mentira)

Para transformar essa sentença aberta em sentença (proposição), podemos fazer isso através de conjunções ou disjunções.

Temos também a conjunção, representada pelo símbolo , que faz o papel do e quando nos remetemos a duas proposições. Por exemplo, se eu tenho “”, eu leio “”. Imagine-se em uma máquina da verdade. Se você disser duas afirmações verdadeiras, a máquina apontará que você diz a verdade. Mas se você disser uma verdade e uma mentira ou, ainda, disser duas mentiras, a máquina apontará que você é mentiroso, pois em algum momento você mentiu. Assim como na máquina, ocorre também com a conjunção. Vejamos a tabela verdade:

w:tbl>pqVVVVFFFVFFFF

Há ainda a disjunção. Esta faz o papel de ou e é representada pelo símbolo . Se houver “”, será lido “”. Agora se imagine em uma máquina um pouco mais “bondosa” que a anterior. Nessa máquina da verdade, o que você fala é aceito da seguinte forma: se você diz duas proposições verdadeiras, a máquina conclui que você fala a verdade; se você disser uma verdade e uma mentira, a máquina concluirá que você fala a verdade, pois, em algum momento, você disse a verdade, e nós dissemos que essa máquina é mais camarada, não é mesmo? Apenas se você disser duas afirmações falsas que a máquina dirá que você é mentiroso, pois concluirá que você nunca falou a verdade. Aqui também temos uma tabela verdade:

w:tbl>pqVVVVFVFVVFFF

Referências:

Site http://clubes.obmep.org.br/blog/linguagem-matematica-sala-3_2/ - Acessado em 04/10/2018

Site https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/logica-matematica-1.htm - Acessado em 04/10/2018


Conclusão:

Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições, sem o uso de quantificadores, consiste em fixar suas variáveis.

Outra maneira de fazer isso é através de conjunções ou disjunções, conforme mostrado acima.

Contextualização:

Sentenças abertas e quantificadores:

O que fazer com as frases genéricas da Matemática?

A simples frase matemática não é uma proposição, por não ter um valor lógico definido. Esse exemplo nos mostra que, apesar de útil e imprescindível, a lógica proposicional não é suficiente para se estudar Matemática: temos que, de alguma forma, generalizar a lógica proposicional.

Essa generalização da lógica proposicional é denominada Lógica de Predicados, ou Lógica de primeira ordem.

Sentenças abertas e variáveis:

Voltemos à frase ; não é possível atribuirmos a ela um valor lógico, já que nela aparece um símbolo, a letra x, que representa um objeto não identificado explicitamente. A frase "" é um exemplo do que a lógica denomina "sentença aberta" e a letra x é a "variável" dessa sentença aberta. Embora não seja possível classificar essa frase em verdadeira ou falsa, se for atribuído um valor a x, por exemplo, 5 ou 10, a frase resultante – "" – é uma proposição (verdadeira no primeiro caso e, falsa, no segundo).

Sentenças abertas não são apenas aquelas que envolvem variáveis numéricas; variáveis podem representar outros tipos de valores, por exemplo, cidades ou pessoas: "z é a capital do Japão."; "Ela é minha prima.". Se a z atribuir-se o conteúdo Tóquio, a primeira sentença será verdadeira; caso contrário, será falsa. Se a palavra "Ela" for substituída pelo nome de uma das filhas de uma tia minha, a segunda sentença será verdadeira.

Assim, de maneira informal, as sentenças abertas são orações declarativas que, a princípio, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (embora tenham sentido completo), por fazerem referências a objetos não nomeados explicitamente. Fixada uma sentença aberta, os símbolos (geralmente letras minúsculas) que representam os objetos não explícitos (sujeitos lógicos) são as variáveis da sentença aberta. As variáveis, ao serem substituídas por elementos de um determinado conjunto (o conjunto universo da variável ou o universo do discurso), definem proposições propriamente ditas.

Seja U um conjunto não vazio. Uma sentença aberta em U é uma regra que associa a cada elemento u de U uma única proposição .

O conjunto U é chamado de domínio da variável x, ou conjunto universo, e cada elemento é dito um valor da variável x.


Resolução:

Pelo exposto, uma sentença aberta com variável x em um conjunto U é uma expressão tal que, para cada objeto u do conjunto U, a substituição de x por u na expressão resulta em uma expressão verdadeira ou falsa. Também é importante observar que, se U é o produto cartesiano dos conjuntos , isto é, , então e, neste caso, temos uma sentença aberta de n variáveis . Dessa forma, sentenças abertas podem ter uma quantidade qualquer de variáveis.

Exemplos:

(1) .

Fazendo a substituição , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição , obtemos a proposição falsa

(2) .

Fazendo a substituição , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição (x1, x2)=(−3, −2)(x1, x2)=(−3, −2), obtemos a proposição falsa

Sentenças abertas generalizam, de certa forma, as proposições; portanto podemos usar os mesmos conectivos usados com as proposições para obter novas sentenças abertas, a partir de outras mais simples. Assim, dadas as sentenças abertas e no conjunto U podemos obter novas sentenças abertas como:

Quantificadores:

A partir da discussão acima, podemos observar que, de modo geral, frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta. Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.

Considerando a sentença aberta no conjunto dos números naturais, note que, se fixarmos , obtemos a proposição verdadeira , que é uma maneira diferente de escrever ; ao passo que se fixarmos , obtemos a proposição falsa .

Você disse a verdade é uma sentença aberta (não dá para saber se é verdade ou mentira)

Para transformar essa sentença aberta em sentença (proposição), podemos fazer isso através de conjunções ou disjunções.

Temos também a conjunção, representada pelo símbolo , que faz o papel do e quando nos remetemos a duas proposições. Por exemplo, se eu tenho “”, eu leio “”. Imagine-se em uma máquina da verdade. Se você disser duas afirmações verdadeiras, a máquina apontará que você diz a verdade. Mas se você disser uma verdade e uma mentira ou, ainda, disser duas mentiras, a máquina apontará que você é mentiroso, pois em algum momento você mentiu. Assim como na máquina, ocorre também com a conjunção. Vejamos a tabela verdade:

w:tbl>pqVVVVFFFVFFFF

Há ainda a disjunção. Esta faz o papel de ou e é representada pelo símbolo . Se houver “”, será lido “”. Agora se imagine em uma máquina um pouco mais “bondosa” que a anterior. Nessa máquina da verdade, o que você fala é aceito da seguinte forma: se você diz duas proposições verdadeiras, a máquina conclui que você fala a verdade; se você disser uma verdade e uma mentira, a máquina concluirá que você fala a verdade, pois, em algum momento, você disse a verdade, e nós dissemos que essa máquina é mais camarada, não é mesmo? Apenas se você disser duas afirmações falsas que a máquina dirá que você é mentiroso, pois concluirá que você nunca falou a verdade. Aqui também temos uma tabela verdade:

w:tbl>pqVVVVFVFVVFFF

Referências:

Site http://clubes.obmep.org.br/blog/linguagem-matematica-sala-3_2/ - Acessado em 04/10/2018

Site https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/logica-matematica-1.htm - Acessado em 04/10/2018


Conclusão:

Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições, sem o uso de quantificadores, consiste em fixar suas variáveis.

Outra maneira de fazer isso é através de conjunções ou disjunções, conforme mostrado acima.

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Andre

Há mais de um mês

Contextualização:

Sentenças abertas e quantificadores:

O que fazer com as frases genéricas da Matemática?

A simples frase matemática   não é uma proposição, por não ter um valor lógico definido. Esse exemplo nos mostra que, apesar de útil e imprescindível, a lógica proposicional não é suficiente para se estudar Matemática: temos que, de alguma forma, generalizar a lógica proposicional.

Essa generalização da lógica proposicional é denominada Lógica de Predicados, ou Lógica de primeira ordem.

Sentenças abertas e variáveis:

Voltemos à frase  ; não é possível atribuirmos a ela um valor lógico, já que nela aparece um símbolo, a letra x, que representa um objeto não identificado explicitamente. A frase " " é um exemplo do que a lógica denomina "sentença aberta" e a letra x é a "variável" dessa sentença aberta. Embora não seja possível classificar essa frase em verdadeira ou falsa, se for atribuído um valor a x, por exemplo, 5 ou 10, a frase resultante – " " – é uma proposição (verdadeira no primeiro caso e, falsa, no segundo).

Sentenças abertas não são apenas aquelas que envolvem variáveis numéricas; variáveis podem representar outros tipos de valores, por exemplo, cidades ou pessoas: "z é a capital do Japão."; "Ela é minha prima.". Se a z atribuir-se o conteúdo Tóquio, a primeira sentença será verdadeira; caso contrário, será falsa. Se a palavra "Ela" for substituída pelo nome de uma das filhas de uma tia minha, a segunda sentença será verdadeira.

Assim, de maneira informal, as sentenças abertas são orações declarativas que, a princípio, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (embora tenham sentido completo), por fazerem referências a objetos não nomeados explicitamente. Fixada uma sentença aberta, os símbolos (geralmente letras minúsculas) que representam os objetos não explícitos (sujeitos lógicos) são as variáveis da sentença aberta. As variáveis, ao serem substituídas por elementos de um determinado conjunto (o conjunto universo da variável ou o universo do discurso), definem proposições propriamente ditas.

Seja U um conjunto não vazio. Uma sentença aberta em U  é uma regra   que associa a cada elemento u de U uma única proposição  .

O conjunto U é chamado de domínio da variável x, ou conjunto universo, e cada elemento   é dito um valor da variável x.


Resolução:

Pelo exposto, uma sentença aberta com variável x em um conjunto U é uma expressão   tal que, para cada objeto u do conjunto U, a substituição de x por u na expressão   resulta em uma expressão   verdadeira ou falsa. Também é importante observar que, se U é o produto cartesiano dos conjuntos  , isto é,  , então   e, neste caso, temos uma sentença aberta de n variáveis  . Dessa forma, sentenças abertas podem ter uma quantidade qualquer de variáveis.

Exemplos:

(1)  .

Fazendo a substituição  , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição  , obtemos a proposição falsa

(2)  .

Fazendo a substituição  , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição (x1, x2)=(−3, −2)(x1, x2)=(−3, −2), obtemos a proposição falsa

Sentenças abertas generalizam, de certa forma, as proposições; portanto podemos usar os mesmos conectivos usados com as proposições para obter novas sentenças abertas, a partir de outras mais simples. Assim, dadas as sentenças abertas   e   no conjunto U podemos obter novas sentenças abertas como:

Quantificadores:

A partir da discussão acima, podemos observar que, de modo geral, frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta. Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.

Considerando a sentença aberta   no conjunto dos números naturais, note que, se fixarmos  , obtemos a proposição verdadeira  , que é uma maneira diferente de escrever  ; ao passo que se fixarmos  , obtemos a proposição falsa  .

Você disse a verdade é uma sentença aberta (não dá para saber se é verdade ou mentira)

Para transformar essa sentença aberta em sentença (proposição), podemos fazer isso através de conjunções ou disjunções.

Temos também a conjunção, representada pelo símbolo  , que faz o papel do e quando nos remetemos a duas proposições. Por exemplo, se eu tenho “ ”, eu leio “ ”. Imagine-se em uma máquina da verdade. Se você disser duas afirmações verdadeiras, a máquina apontará que você diz a verdade. Mas se você disser uma verdade e uma mentira ou, ainda, disser duas mentiras, a máquina apontará que você é mentiroso, pois em algum momento você mentiu. Assim como na máquina, ocorre também com a conjunção. Vejamos a tabela verdade:

Há ainda a disjunção. Esta faz o papel de ou e é representada pelo símbolo  . Se houver “ ”, será lido “ ”. Agora se imagine em uma máquina um pouco mais “bondosa” que a anterior. Nessa máquina da verdade, o que você fala é aceito da seguinte forma: se você diz duas proposições verdadeiras, a máquina conclui que você fala a verdade; se você disser uma verdade e uma mentira, a máquina concluirá que você fala a verdade, pois, em algum momento, você disse a verdade, e nós dissemos que essa máquina é mais camarada, não é mesmo? Apenas se você disser duas afirmações falsas que a máquina dirá que você é mentiroso, pois concluirá que você nunca falou a verdade. Aqui também temos uma tabela verdade:

Referências:

Site http://clubes.obmep.org.br/blog/linguagem-matematica-sala-3_2/ - Acessado em 04/10/2018

Site https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/logica-matematica-1.htm - Acessado em 04/10/2018


Conclusão:

Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições, sem o uso de quantificadores, consiste em fixar suas variáveis.

Outra maneira de fazer isso é através de conjunções ou disjunções, conforme mostrado acima.

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Andre

Há mais de um mês

Contextualização:

Sentenças abertas e quantificadores:

O que fazer com as frases genéricas da Matemática?

A simples frase matemática não é uma proposição, por não ter um valor lógico definido. Esse exemplo nos mostra que, apesar de útil e imprescindível, a lógica proposicional não é suficiente para se estudar Matemática: temos que, de alguma forma, generalizar a lógica proposicional.

Essa generalização da lógica proposicional é denominada Lógica de Predicados, ou Lógica de primeira ordem.

Sentenças abertas e variáveis:

Voltemos à frase ; não é possível atribuirmos a ela um valor lógico, já que nela aparece um símbolo, a letra x, que representa um objeto não identificado explicitamente. A frase "" é um exemplo do que a lógica denomina "sentença aberta" e a letra x é a "variável" dessa sentença aberta. Embora não seja possível classificar essa frase em verdadeira ou falsa, se for atribuído um valor a x, por exemplo, 5 ou 10, a frase resultante – "" – é uma proposição (verdadeira no primeiro caso e, falsa, no segundo).

Sentenças abertas não são apenas aquelas que envolvem variáveis numéricas; variáveis podem representar outros tipos de valores, por exemplo, cidades ou pessoas: "z é a capital do Japão."; "Ela é minha prima.". Se a z atribuir-se o conteúdo Tóquio, a primeira sentença será verdadeira; caso contrário, será falsa. Se a palavra "Ela" for substituída pelo nome de uma das filhas de uma tia minha, a segunda sentença será verdadeira.

Assim, de maneira informal, as sentenças abertas são orações declarativas que, a princípio, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas (embora tenham sentido completo), por fazerem referências a objetos não nomeados explicitamente. Fixada uma sentença aberta, os símbolos (geralmente letras minúsculas) que representam os objetos não explícitos (sujeitos lógicos) são as variáveis da sentença aberta. As variáveis, ao serem substituídas por elementos de um determinado conjunto (o conjunto universo da variável ou o universo do discurso), definem proposições propriamente ditas.

Seja U um conjunto não vazio. Uma sentença aberta em U é uma regra que associa a cada elemento u de U uma única proposição .

O conjunto U é chamado de domínio da variável x, ou conjunto universo, e cada elemento é dito um valor da variável x.


Resolução:

Pelo exposto, uma sentença aberta com variável x em um conjunto U é uma expressão tal que, para cada objeto u do conjunto U, a substituição de x por u na expressão resulta em uma expressão verdadeira ou falsa. Também é importante observar que, se U é o produto cartesiano dos conjuntos , isto é, , então e, neste caso, temos uma sentença aberta de n variáveis . Dessa forma, sentenças abertas podem ter uma quantidade qualquer de variáveis.

Exemplos:

(1) .

Fazendo a substituição , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição , obtemos a proposição falsa

(2) .

Fazendo a substituição , obtemos a proposição verdadeira

Fazendo a substituição (x1, x2)=(−3, −2)(x1, x2)=(−3, −2), obtemos a proposição falsa

Sentenças abertas generalizam, de certa forma, as proposições; portanto podemos usar os mesmos conectivos usados com as proposições para obter novas sentenças abertas, a partir de outras mais simples. Assim, dadas as sentenças abertas e no conjunto U podemos obter novas sentenças abertas como:

Quantificadores:

A partir da discussão acima, podemos observar que, de modo geral, frases genéricas se enquadram no que definimos como sentença aberta. Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições consiste em fixar suas variáveis.

Considerando a sentença aberta no conjunto dos números naturais, note que, se fixarmos , obtemos a proposição verdadeira , que é uma maneira diferente de escrever ; ao passo que se fixarmos , obtemos a proposição falsa .

Você disse a verdade é uma sentença aberta (não dá para saber se é verdade ou mentira)

Para transformar essa sentença aberta em sentença (proposição), podemos fazer isso através de conjunções ou disjunções.

Temos também a conjunção, representada pelo símbolo , que faz o papel do e quando nos remetemos a duas proposições. Por exemplo, se eu tenho “”, eu leio “”. Imagine-se em uma máquina da verdade. Se você disser duas afirmações verdadeiras, a máquina apontará que você diz a verdade. Mas se você disser uma verdade e uma mentira ou, ainda, disser duas mentiras, a máquina apontará que você é mentiroso, pois em algum momento você mentiu. Assim como na máquina, ocorre também com a conjunção. Vejamos a tabela verdade:

w:tbl>pqVVVVFFFVFFFF

Há ainda a disjunção. Esta faz o papel de ou e é representada pelo símbolo . Se houver “”, será lido “”. Agora se imagine em uma máquina um pouco mais “bondosa” que a anterior. Nessa máquina da verdade, o que você fala é aceito da seguinte forma: se você diz duas proposições verdadeiras, a máquina conclui que você fala a verdade; se você disser uma verdade e uma mentira, a máquina concluirá que você fala a verdade, pois, em algum momento, você disse a verdade, e nós dissemos que essa máquina é mais camarada, não é mesmo? Apenas se você disser duas afirmações falsas que a máquina dirá que você é mentiroso, pois concluirá que você nunca falou a verdade. Aqui também temos uma tabela verdade:

w:tbl>pqVVVVFVFVVFFF

Referências:

Site http://clubes.obmep.org.br/blog/linguagem-matematica-sala-3_2/ - Acessado em 04/10/2018

Site https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/logica-matematica-1.htm - Acessado em 04/10/2018


Conclusão:

Portanto, uma maneira de transformar frases genéricas da Matemática em proposições, sem o uso de quantificadores, consiste em fixar suas variáveis.

Outra maneira de fazer isso é através de conjunções ou disjunções, conforme mostrado acima.

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