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Como responder essa questão?

Use o teorema de Rolle para provar que a equação:
x^5-5x^2+b=0 tem no máximo três raízes reais distintas, para todo valor de b.


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Iniciaremos explicando a ideia do teorema em questão, o Teorema de Rolle é uma conjectura existencial, assim como o Teorema de Valor Médio.

O francês Michael Rolle (1652 - 1719) desenvolveu esse teorema com a intenção de afirmar a existencia de um dado externo considerando antes de tudo três condições principais.


No Teorema de Rolle temos a afirmação, dada uma função na qual.

  1. Seja continua em um dado intervalo fechado [a,b] ;

  2. Seja diferençável em todo intervalo aberto (a,b);

  3. Tendo sido verificadas as duas condições acima citadas, e também.

  4. O teorema afirma que existe um ponto c tal qual.


Verificando a função que foi dada:

De acordo com o Teorema de Rolle sempre que houver duas raízes reais (R1, R2) sucessivas de um polinômio de grau n, tem que haver uma raiz do polinômio no mesmo intervalo. Isso facilita a análise das raízes, tendo em vista que um polinômio da função tem um grau menor que o da função original, fica evidentemente mais fácil a descoberta da mesma.


Assim sendo, temos a função

Realizando a derivada da função apresentada temos.


Considerando então que dentro do intervalo [a,b], exista um valor = 0 como diz o Teorema de Rolle.

Podemos então verificar que uma das raízes reais dessa função é

Seguindo com os termos não evidenciados

Definindo então as outras raízes possíveis como


Assim podemos concluir que a função apresentada, para todo valor de b , tem ao menos 3 raízes possíveis.

Iniciaremos explicando a ideia do teorema em questão, o Teorema de Rolle é uma conjectura existencial, assim como o Teorema de Valor Médio.

O francês Michael Rolle (1652 - 1719) desenvolveu esse teorema com a intenção de afirmar a existencia de um dado externo considerando antes de tudo três condições principais.


No Teorema de Rolle temos a afirmação, dada uma função na qual.

  1. Seja continua em um dado intervalo fechado [a,b] ;

  2. Seja diferençável em todo intervalo aberto (a,b);

  3. Tendo sido verificadas as duas condições acima citadas, e também.

  4. O teorema afirma que existe um ponto c tal qual.


Verificando a função que foi dada:

De acordo com o Teorema de Rolle sempre que houver duas raízes reais (R1, R2) sucessivas de um polinômio de grau n, tem que haver uma raiz do polinômio no mesmo intervalo. Isso facilita a análise das raízes, tendo em vista que um polinômio da função tem um grau menor que o da função original, fica evidentemente mais fácil a descoberta da mesma.


Assim sendo, temos a função

Realizando a derivada da função apresentada temos.


Considerando então que dentro do intervalo [a,b], exista um valor = 0 como diz o Teorema de Rolle.

Podemos então verificar que uma das raízes reais dessa função é

Seguindo com os termos não evidenciados

Definindo então as outras raízes possíveis como


Assim podemos concluir que a função apresentada, para todo valor de b , tem ao menos 3 raízes possíveis.

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Andre

Há mais de um mês

Iniciaremos explicando a ideia do teorema em questão, o Teorema de Rolle é uma conjectura existencial, assim como o Teorema de Valor Médio.

O francês Michael Rolle (1652 - 1719) desenvolveu esse teorema com a intenção de afirmar a existencia de um dado externo considerando antes de tudo três condições principais.


No Teorema de Rolle temos a afirmação, dada uma função na qual.

  1. Seja continua em um dado intervalo fechado [a,b] ;

  2. Seja diferençável em todo intervalo aberto (a,b);

  3. Tendo sido verificadas as duas condições acima citadas, e também.

  4. O teorema afirma que existe um ponto c tal qual.


Verificando a função que foi dada:

De acordo com o Teorema de Rolle sempre que houver duas raízes reais (R1, R2) sucessivas de um polinômio de grau n, tem que haver uma raiz do polinômio no mesmo intervalo. Isso facilita a análise das raízes, tendo em vista que um polinômio da função tem um grau menor que o da função original, fica evidentemente mais fácil a descoberta da mesma.


Assim sendo, temos a função

Realizando a derivada da função apresentada temos.


Considerando então que dentro do intervalo [a,b], exista um valor = 0 como diz o Teorema de Rolle.

Podemos então verificar que uma das raízes reais dessa função é

Seguindo com os termos não evidenciados

Definindo então as outras raízes possíveis como


Assim podemos concluir que a função apresentada, para todo valor de b , tem ao menos 3 raízes possíveis.

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Andre

Há mais de um mês

Iniciaremos explicando a ideia do teorema em questão, o Teorema de Rolle é uma conjectura existencial, assim como o Teorema de Valor Médio. 

O francês Michael Rolle (1652 - 1719) desenvolveu esse teorema com a intenção de afirmar a existencia de um dado externo considerando antes de tudo três condições principais. 


No Teorema de Rolle temos a afirmação, dada uma função  na qual.

 

  1. Seja continua em um dado intervalo fechado [a,b] ;
  2. Seja diferençável em todo intervalo aberto (a,b);

Tendo sido verificadas as duas condições acima citadas, e também.

O teorema afirma que existe um ponto c tal qual. 


Verificando a função que foi dada:

De acordo com o Teorema de Rolle sempre que houver duas raízes reais (R1, R2) sucessivas de um polinômio   de grau n, tem que haver uma raiz do polinômio  no mesmo intervalo. Isso facilita a análise das raízes, tendo em vista que um polinômio da função   tem um grau menor que o da função original, fica evidentemente mais fácil a descoberta da mesma. 


Assim sendo, temos a função 

Realizando a derivada da função apresentada temos.


Considerando então que dentro do intervalo [a,b], exista um valor   = 0 como diz o Teorema de Rolle.

Podemos então verificar que uma das raízes reais dessa função é 

Seguindo com os termos não evidenciados 

Definindo então as outras raízes possíveis como 


Assim podemos concluir que a função apresentada, para todo valor de b , tem ao menos 3 raízes possíveis. 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas