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Mostre que uma matriz com uma fila nula nao pode ter inversa


3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

O critério para que uma matriz tenha uma inversa é que seu determinante seja diferente de zero. Caso o determinante de uma matriz seja nulo, essa matriz é chamada de matriz singular. Sendo assim, vamos analisar como é feito o cálculo do determinante de uma matriz.

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real (fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante. Acesso em 09 de outubro de 2018). Abaixo está descrito a equação para uma matriz de ordem 3 para que possamos observar com mais clareza como é efetuado esse cálculo:

Este é o resultado de uma regra chamada regra de Sarrus:

(fonte:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Determinant_3x3_Example.svg. Acesso em 09 de outubro de 2018).

Assim, observa-se que para se calcular o determinante, é feito a multiplicação de pelo menos um elemento de cada linha e de cada coluna para todos os termos do cálculo. Se existir uma linha ou coluna com todos os números nulos, então todos os termos do cálculo do determinante serão nulos e resulta em um determinante igual a zero. E isso é um critério para que a matriz não possua inversa. Abaixo vamos exemplificar com números:

Como podemos observar, a matriz com uma fila (tanto linha como coluna) nula resulta em um determinante nulo, então essa matriz não possui inversa.

O critério para que uma matriz tenha uma inversa é que seu determinante seja diferente de zero. Caso o determinante de uma matriz seja nulo, essa matriz é chamada de matriz singular. Sendo assim, vamos analisar como é feito o cálculo do determinante de uma matriz.

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real (fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante. Acesso em 09 de outubro de 2018). Abaixo está descrito a equação para uma matriz de ordem 3 para que possamos observar com mais clareza como é efetuado esse cálculo:

Este é o resultado de uma regra chamada regra de Sarrus:

(fonte:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Determinant_3x3_Example.svg. Acesso em 09 de outubro de 2018).

Assim, observa-se que para se calcular o determinante, é feito a multiplicação de pelo menos um elemento de cada linha e de cada coluna para todos os termos do cálculo. Se existir uma linha ou coluna com todos os números nulos, então todos os termos do cálculo do determinante serão nulos e resulta em um determinante igual a zero. E isso é um critério para que a matriz não possua inversa. Abaixo vamos exemplificar com números:

Como podemos observar, a matriz com uma fila (tanto linha como coluna) nula resulta em um determinante nulo, então essa matriz não possui inversa.

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Alberto

Há mais de um mês

Matriz invertível: A(aij)nxn é invertível se existe B = (bjk)nxn tal que A.B. = B.A = In que é a matriz identidade. B é chamada de matriz inversa de A e denotada por B = A-¹.

Teorema: Se A é invertível então detA ≠ 0.

Prova: A.A-¹ = A-¹.A = In

det(A.A-¹) = det(In) ... detA.detA-¹ = 1... detA≠0 e det(A-¹) = 1/detA

É sábido pela propriedade do determinante que quando uma linha ou coluna for nula o detA = 0 e isso implica que não terá inversa,pois para ser invertível detA≠0.

Você então pode fazer qualquer matriz com linha ou coluna nula e verá que o determinante desta matriz será 0.

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Andre

Há mais de um mês

O critério para que uma matriz tenha uma inversa é que seu determinante seja diferente de zero. Caso o determinante de uma matriz seja nulo, essa matriz é chamada de  matriz singular. Sendo assim, vamos analisar como é feito o cálculo do determinante de uma matriz. 

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real (fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante. Acesso em 09 de outubro de 2018). Abaixo está descrito a equação para uma matriz de ordem 3 para que possamos observar com mais clareza como é efetuado esse cálculo:

Este é o resultado de uma regra chamada regra de Sarrus:

(fonte:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Determinant_3x3_Example.svg. Acesso em 09 de outubro de 2018).

Assim, observa-se que para se calcular o determinante, é feito a multiplicação de pelo menos um elemento de cada linha e de cada coluna para todos os termos do cálculo. Se existir uma linha ou coluna com todos os números nulos, então todos os termos do cálculo do determinante serão nulos e resulta em um determinante igual a zero. E isso é um critério para que a matriz não possua inversa. Abaixo vamos exemplificar com números:

Como podemos observar, a matriz com uma fila (tanto linha como coluna) nula resulta em um determinante nulo, então essa matriz não possui inversa. 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas