Quando que um par de funções é linearmente independentes, em EDO?

Nesse exercício vamos estudar o Wronskiano de um par de funções.

O Wronskiano é usado para determinar a dependência linear entre funções e é dado pela seguinte expressão:

$$W(f,g)=\begin{vmatrix}f(x) & g(x)\\f'(x) & g'(x)\end{vmatrix}$$

Quando $W(f,g)\neq 0$, as funções são linearmente independentes.

Vamos por exemplo determinar a dependência linear entre as funções $f(x)=\sin x$ e $g(x)=\cos x$:

$$W(f,g)=\begin{vmatrix}\sin x & \cos x\\\cos x & -\sin x\end{vmatrix}=-\sin^2x-\cos^2x=-(\sin^2x+\cos^2x)$$

Mas pela relação fundamental da trigonometria:

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

Então

$$W(f,g)=-1\neq0$$

Portanto $\sin x$ e $\cos x$ são funções linearmente independentes.

Temos, portanto, que o Wronskiano é usado para determinar a dependência linear entre funções.

Nesse exercício vamos estudar o Wronskiano de um par de funções.

O Wronskiano é usado para determinar a dependência linear entre funções e é dado pela seguinte expressão:

$$W(f,g)=\begin{vmatrix}f(x) & g(x)\\f'(x) & g'(x)\end{vmatrix}$$

Quando $W(f,g)\neq 0$, as funções são linearmente independentes.

Vamos por exemplo determinar a dependência linear entre as funções $f(x)=\sin x$ e $g(x)=\cos x$:

$$W(f,g)=\begin{vmatrix}\sin x & \cos x\\\cos x & -\sin x\end{vmatrix}=-\sin^2x-\cos^2x=-(\sin^2x+\cos^2x)$$

Mas pela relação fundamental da trigonometria:

$$\sin^2x+\cos^2x=1$$

Então

$$W(f,g)=-1\neq0$$

Portanto $\sin x$ e $\cos x$ são funções linearmente independentes.

Temos, portanto, que o Wronskiano é usado para determinar a dependência linear entre funções.