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o ponto p(x,y,z), do plano x+3y+2z=6, cuja distancia à origem é minima, tem abiscissa igual a:

Cálculo II

UNIUBE


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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos sobre cálculo para encontrar um ponto pertencente ao plano .


A equação da distância entre o ponto e a origem é:


Além disso, pode-se reescrever a equação do plano da seguinte forma:


Substituindo a equação na equação , a equação resultante é:


A distância entre e o plano é mínima. Portanto, o valor de deve ser mínimo. Portanto, as seguintes equações de derivada devem ser atendidas:


Substituindo a equação nas equações anteriores, tem-se o seguinte:


Os valores de e associados ao menor valor de são chamados valores críticos. Realizando a operação , o valor crítico de é:


Substituindo o valor de na equação , o valor crítico de é:


Portanto, o ponto crítico é:

Agora, será provado que o valor da distância de fato foi minimizado pelo ponto . Pelas equações anteriores, os valores de e são:


Considerando que o valor de deve ser igual a , seu valor é:


Portanto, o valor da Hessiana é:


Tem-se e . Portanto, pelo Teste da Segunda Derivada, a função tem um mínimo local em . Com isso, foi provado que o valor da distância de fato foi minimizado.


Finalmente, voltando à equação , o valor crítico da abscissa é:


Concluindo, o valor da abscissa , correspondente à menor distância entre o ponto e o plano , é igual a:

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos sobre cálculo para encontrar um ponto pertencente ao plano .


A equação da distância entre o ponto e a origem é:


Além disso, pode-se reescrever a equação do plano da seguinte forma:


Substituindo a equação na equação , a equação resultante é:


A distância entre e o plano é mínima. Portanto, o valor de deve ser mínimo. Portanto, as seguintes equações de derivada devem ser atendidas:


Substituindo a equação nas equações anteriores, tem-se o seguinte:


Os valores de e associados ao menor valor de são chamados valores críticos. Realizando a operação , o valor crítico de é:


Substituindo o valor de na equação , o valor crítico de é:


Portanto, o ponto crítico é:

Agora, será provado que o valor da distância de fato foi minimizado pelo ponto . Pelas equações anteriores, os valores de e são:


Considerando que o valor de deve ser igual a , seu valor é:


Portanto, o valor da Hessiana é:


Tem-se e . Portanto, pelo Teste da Segunda Derivada, a função tem um mínimo local em . Com isso, foi provado que o valor da distância de fato foi minimizado.


Finalmente, voltando à equação , o valor crítico da abscissa é:


Concluindo, o valor da abscissa , correspondente à menor distância entre o ponto e o plano , é igual a:

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Andre Smaira

Há mais de um mês

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos sobre cálculo para encontrar um ponto   pertencente ao plano  .


A equação da distância   entre o ponto   e a origem   é:


Além disso, pode-se reescrever a equação do plano da seguinte forma:


Substituindo a equação   na equação  , a equação resultante é:


A distância entre   e o plano   é mínima. Portanto, o valor de   deve ser mínimo. Portanto, as seguintes equações de derivada devem ser atendidas:


Substituindo a equação   nas equações anteriores, tem-se o seguinte:


Os valores de   e   associados ao menor valor de   são chamados valores críticos. Realizando a operação  , o valor crítico de   é:


Substituindo o valor de   na equação  , o valor crítico de   é:


Portanto, o ponto crítico é:

Agora, será provado que o valor da distância   de fato foi minimizado pelo ponto  . Pelas equações anteriores, os valores de   e   são:


Considerando que o valor de   deve ser igual a  , seu valor é:


Portanto, o valor da Hessiana   é:


Tem-se   e  . Portanto, pelo Teste da Segunda Derivada, a função   tem um mínimo local em  . Com isso, foi provado que o valor da distância   de fato foi minimizado.


Finalmente, voltando à equação  , o valor crítico da abscissa   é:


Concluindo, o valor da abscissa  , correspondente à menor distância entre o ponto   e o plano  , é igual a:

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Andre Smaira

Há mais de um mês

Neste exercício, serão aplicados os conhecimentos sobre cálculo para encontrar um ponto pertencente ao plano .


A equação da distância entre o ponto e a origem é:


Além disso, pode-se reescrever a equação do plano da seguinte forma:


Substituindo a equação na equação , a equação resultante é:


A distância entre e o plano é mínima. Portanto, o valor de deve ser mínimo. Portanto, as seguintes equações de derivada devem ser atendidas:


Substituindo a equação nas equações anteriores, tem-se o seguinte:


Os valores de e associados ao menor valor de são chamados valores críticos. Realizando a operação , o valor crítico de é:


Substituindo o valor de na equação , o valor crítico de é:


Portanto, o ponto crítico é:

Agora, será provado que o valor da distância de fato foi minimizado pelo ponto . Pelas equações anteriores, os valores de e são:


Considerando que o valor de deve ser igual a , seu valor é:


Portanto, o valor da Hessiana é:


Tem-se e . Portanto, pelo Teste da Segunda Derivada, a função tem um mínimo local em . Com isso, foi provado que o valor da distância de fato foi minimizado.


Finalmente, voltando à equação , o valor crítico da abscissa é:


Concluindo, o valor da abscissa , correspondente à menor distância entre o ponto e o plano , é igual a:

Essa pergunta já foi respondida!