o lucro máximo de uma empresa é dado por L=-x²+30x-5, onde x é a quantidade mensal vendida. O lucro mensal máximo possível é?

Matemática para Negócios

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ESTÁCIO

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Michele Santos

30.09.2018

💡 6 Respostas

Leonardo Donato

18.04.2019

880

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Andre Smaira

12.10.2019

A derivada de uma função é a razão entre os acréscimos infinitesimais entre a abcissa e a ordenada. Graficamente, a primeira derivada fornece informações sobre a declividade do gráfico do gráfico e da função, enquanto a segunda derivada dá informações acerca da concavidade do gráfico da função. Vale ressaltar ainda que o ponto em que a primeira derivada de uma função é igual a zero, tal ponto trata-se de um máximo ou de mínimo. Para verificar novamente, verificar se a derivada segunda é positiva ou negativa no ponto (caso seja positiva, temos um ponto de mínimo e vice-versa).

Quando lida-se com funções polinomiais $$P(x)=ax^n$$ em que $$a$$ é um número real, emprega-se a Regra do Tombo para o cálculo da derivada, onde a mesma é $P'(x)=a\cdot \left(n\cdot x^{n-1} \right)$ Isto é, basta “tombar” o expoente da variável, transformando-o em um multiplicador, e subtrair $$1$$ do expoente.

Visto isso, no problema em questão temos que:

$\eqalign{ L\left( x \right) = - {x^2} + 30x - 5 \cr \cr L'\left( x \right) = - 2 \cdot {x^{2 - 1}} + 30 \cdot 1 \cdot {x^{1 - 1}} \cr = - 2x + 30 \cr \cr L''\left( x \right) = - 2 \cdot 1 \cdot {x^{1 - 1}} \cr = - 2 \cr \cr L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{30}}{2} = 15 \cr \cr L''\left( {15} \right) = - 2 \to {\require{text}\text{Ponto de m\'a ximo}} \cr \cr L\left( {15} \right) = {\left( { - 15} \right)^2} + 30 \cdot 15 - 5 \cr = 225 + 450 - 4 \cr = 670 }$

Portanto, o lucro máximo mensal possível é de $\boxed{670}$ e ocorre quando $$x=15$$

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