Como calcular Derivada de duas variaveis?

É como calcular a derivada de 1 variável. Porém, você vai derivar em relação a variável de interesse e manter a outra variável como uma constante. É confuso, mas quando se pega o jeito dá tudo certo.
Exemplo: 

f(x , y) = x² + 2xy + y

Se você quer derivar em relação a y, você considera x como uma constante. Assim, quando x estives acompanhado do y você repete a constante, e quando x estiver sozinho você zera (derivada de uma constante=0)

fy(x , y)= 0 + 2x + 1

fy(x , y)= 2x + 1

A mesma coisa para derivar em relação a x:

fx(x , y) = 2x + 2y + 0

fx(x , y) = 2x + 2y

Note que derivaos f(x,y) apenas uma vez em relação a variavel x ou y, para derivar pela segunda vez, você escolhe uma variável de interesse e deriva da mesma forma:

Segunda derivada de fx em relação a x

fxx(x , y) = 2 + 0

Segunda derivada de fx em relação a y

fxy(x , y) = 0 + 2

Segunda derivada de fy em relação a x

fyx(x , y)= 2 + 0

Segunda derivadade fy em relação a y

fyy(x , y)= 0

Tomemos como exemplo o calcular as derivadas parciais no ponto da função  definida por:

Para calcular as derivadas e no ponto , primeiramente devemos obter as expressões das derivadas e em seguida devemos avaliar essas derivada no ponto desejado. Para calcular a derivada parcial  devemos manter y temporariamente constante.

Ou seja, se fizermos:

 e 

Teremos que:

E, consequentemente:

De modo similar, mantendo x constante, temos que:

Portanto, aplicando as derivadas parciais no ponto :

 e