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∭_r (e-(x^2+y^2+z^2))/√(x^2+y^2+x²) d V, em que T é solido limitado por duas esferas: x²+y²+z²=1 e x²+y²+z²=36

Cálculo III

UNINTER


6 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Nesse exercício vamos calcular a integral tripla.


A integral a ser calculada é a seguinte:

$$I=\int\int\int_T \dfrac{e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dV$$

Onde $T$ é limitado por $x^2+y^2+z^2=1$ e $x^2+y^2+z^2=36$.


Perceba que o problema tem simetria esférica, de forma que podemos transformar em uma integral de apenas numa variável, onde o diferencial de volume é:

$$dV=4\pi r^2dr$$


Mudando as variáveis na integral, temos:

$$I=\int_1^6\dfrac{e^{-r^2}}{r}4\pi r^2dr=2\pi \int_1^62re^{-r^2}dr$$

Fazendo $u=r^2\Rightarrow du=2rdr$, temos:

$$I=2\pi\int_1^{36}e^{-u}du=2\pi\left[-e^{-u}\right]_1^{36}=2\pi(e^{-1}-e^{-36})$$


Como $e^{-36}\ll e^{-1}$:

$$\boxed{\int\int\int_T \dfrac{e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dV\approx\dfrac{2\pi}{e}\approx2,311}$$

Nesse exercício vamos calcular a integral tripla.


A integral a ser calculada é a seguinte:

$$I=\int\int\int_T \dfrac{e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dV$$

Onde $T$ é limitado por $x^2+y^2+z^2=1$ e $x^2+y^2+z^2=36$.


Perceba que o problema tem simetria esférica, de forma que podemos transformar em uma integral de apenas numa variável, onde o diferencial de volume é:

$$dV=4\pi r^2dr$$


Mudando as variáveis na integral, temos:

$$I=\int_1^6\dfrac{e^{-r^2}}{r}4\pi r^2dr=2\pi \int_1^62re^{-r^2}dr$$

Fazendo $u=r^2\Rightarrow du=2rdr$, temos:

$$I=2\pi\int_1^{36}e^{-u}du=2\pi\left[-e^{-u}\right]_1^{36}=2\pi(e^{-1}-e^{-36})$$


Como $e^{-36}\ll e^{-1}$:

$$\boxed{\int\int\int_T \dfrac{e^{-(x^2+y^2+z^2)}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dV\approx\dfrac{2\pi}{e}\approx2,311}$$

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Jeferson Correia

Há mais de um mês

Ainda precisa da resolução?

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Lia sousa

Há mais de um mês

pessoal alguem pode me ajudar com as respostas dessas perguntas?

Calcule as integrais:

    a)     (x+y)dA, onde R é a região limitada por y = x2  e y=2x

    b)      e – (x2+y2) dA, sendo R= {(x,y ) ϵ R2; 1 ≤x 2 +y 2 ≤ 4} 

   c)     d V, em que T é solido limitado por duas esferas: x²+y²+z²=1 e x²+y²+z²=36

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas