achar o ponto máximo e mínimo de f(x)=x³-3x

1) f(x) = x³-3x ⇒ f'(x) = 3x²-3 = 0 ⇒ x = 1 ∨ x = -1 
f(x) = x³-3x ⇒ f''(x) = 6x ⇒ f''(1) = 6 ∧ f''(-1) = -6 

Como f'(1) = 0 e f''(1) > 0, 1 é ponto de mínimo local interior de f. 

Obs.: -1 é ponto de máximo local interior de f, pois f'(-1) = 0 e f''(-1) < 0. 

2) Primeiramente, determinemos os intervalos de crescimento e decrescimento de f: 

f'(x) > 0 ⇒ 3x²-3 > 0 ⇒ x² > 1 ⇒ |x| > 1 ⇒ x > 1 ∨ x < -1 
f'(x) < 0 ⇒ 3x²-3 < 0 ⇒ x² < 1 ⇒ |x| < 1 ⇒ -1 < x < 1 

Como f é crescente em x > 1, temos de averiguar se existe algum x∈[1,3] tal que 
f(x) > f(-1). Vejamos: 

f(x) - f(-1) > 0 ⇒ x³-3x-(-1)³+3(-1) = x³-3x-2 > 0 ⇒ (x³-4x)+(x-2) > 0 ⇒ x(x²-4)+(x-2) > 0 

⇒ x(x+2)(x-2)+(x-2) > 0 ⇒ (x²+2x+1)(x-2) > 0 ⇒ (x+1)²(x-2) > 0 ⇒ x > 2 

De fato, existe. Para x > 2, f(x) > f(-1). Como f é estritamente crescente em [1,3], 
o valor máximo absoluto de f em [-√3,3] dá-se por f(3) = 3³-3.3 = 18. Para determinar 
o valor mínimo absoluto de f em [-√3,3] usa-se raciocínio análogo. 

3) Conforme o enunciado, f'(1) = 0. Sabendo que f'(x) = 3x²+2ax-1, temos: 

3.1²+2a.1-1 = 0 ⇒ 2a = -2 ⇒ a = -1 

Consequentemente, as raízes de f'(x) são dadas por: 

f'(x) = 0 ⇒ 3x²-2x-1 = 0 ⇒ (3x²-3x)+(x-1) = 0 ⇒ 3x(x-1)+(x-1) = 0 ⇒ (3x+1)(x-1) = 0 ⇒ 

x = -1/3 ∨ x = 1 

Haja vista que f''(x) = 6x-2, decorre que f''(-1/3) = -4 < 0. Portanto o ponto de mínimo 
local interior de f é -1/3.

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo desta função, devemos inicialmente analisar a primeira derivada para pontos críticos/extremos, e em seguida analisaremos a segunda derivada para sabermos se estes pontos são de máximo ou mínimo.

1º) Cálculo da primeira derivada e pontos extremos:

Os pontos extremos são encontrados igualando a derivada a zero e resolvendo para x:

nestes dois valores x se encontram os valores extremos desta função.

2º) Encontrar se os pontos são de máximo ou mínimo. Para isto, você deverá obter a segunda derivada desta função e aplicar os valores para x encontrados que são considerados extremos. Se a segunda derivada for positiva, então ocorrerá um valor de mínimo no local. Caso a segunda derivada for negativa, então ocorrerá valor de máximo. Vamos lá:

Resposta: Desta forma encontramos que para x=1 temos um valor de mínimo e x=-1 temos um valor de máximo. Esta é a resposta deste exercício.

Observe o gráfico desta função, que confirma a resposta: