Encontre os pontos máximos e mínimos relativos (local) da função definida por f(x)=x³-3x²-24x+8

Derivando a função f(x)=x³-3x²-24x+8, temos f '(x)=3x²-6x+3.

Igualando f '(x) a zero temos 3x²-6x+3=0, aplicando Bháskara encontramos x'=x''=1

Então em x=1 será um ponto crítico que tanto poderá ser um mínimo ou máximo.

Verificando f(x) quando x=1.

f(x)=x³-3x²+3x+1

substituindo x por 1

f(1)=1³-3*1²+3*1+1

f(1)=1-3+3+1

f(1)=2

Então no ponto de x=1 e f(x)=2

O ponto em que há um ponto crítico, será no ponto (1;2).

Derivando novamente a expressão principal, encontramos a expressão f ''(x)=6x-6.

Assim, igualando a segunda derivada a zero para encontrar suas raízes, teremos:

6x-6=0

6x=6

x=6/6

x=1

Encontramos que a raiz da segunda derivada também é igual a 1. E que quando substituirmos "x" por "1" na expressão original, iremos encontrar, que, f(x)=2. Ou seja, o ponto será o mesmo: (1;2)

Como a segunda derivada, só dá pontos de inflexão, e vemos que a raiz da segunda derivada é igual ás raízes da primeira derivada, então somos forçados a informar que o gráfico da função f(x)= x³-3x²+3x+1 só te um ponto de inflexão, não tendo ponto máximo ou mínimo.

Resposta: no ponto (1;2) temos um ponto de inflexão.

Boa noite!

Para resolvermos este exercício, aplicaremos o seguinte roteiro de resolução (pode anotar, pois é uma espécie de "receita de bolo"):

1º calculamos a primeira derivada, e resolvemos para f'(x)=0 e encontramos os possíveis x de resposta, que serão nossos locais de interesse (máximos e mínimos).

2º calculamos a segunda derivada, e aplicamos todos os x encontrados. Se o resultado for positivo, então tem-se mínimo local. Se o resultado for negativo, então tem-se máximo local.

Vamos lá!

1º Cálculo da primeira derivada:

Encontramos dois valores onde ocorrem valores máximos/mínimo. Aplicaremos agora o segundo passo:

Observe que para x=-2 temos uma segunda derivada negativa, logo temos um máximo local em x=-2.

Observe que para x=+4 temos uma segunda derivada positiva, logo temos um mínimo local em x=+4.

Esta é a resposta deste exercício, x=-2 (máximo) e x=+4 (mínimo).

Observe agora o gráfico para confirmar o resultado encontrado: