Distância entre dois pontos no plano

Pra ida, assuma que A é limitado. Tome então uma distancia "d" tal que para todo x e y em A, D(x,y) é menor que d. Tome entao z fora de A e tome D(x,z) e D(y,z) e use a desigualdade triangular. Para a volta, seja C o circulo de centro O contido em A. Mostre então que para todo ponto em C, existe pontos de A.

Corrigindo, *pontos interiores.

Na verdade, um subconjunto é ilimitado se, e somente se, possui pontos exteriores a qualquer círculo centrado na origem. Vamos à demonstração.

Suponha que não possua pontos exteriores a um círculo com centro na origem e raio ., então, todos pontos de estão em . Daí, tomemos um círculo D, cujo centro está no ponto (0,0) do plano e que tenha raio igual a distância do ponto C ao ponto (0,0) somada ao tamanho de r. Nessas condições, podemos garantir que todos os pontos do interior de G estão no interior de D, incluindo A. Em contrapartida, visto que dado um círculo qualquer G, sempre é possível construir um círculo com centro em (0,0), D, tal que todos os pontos do interior de G também são pontos do interior de D, segue que é limitado, uma contradição.

Portanto, por redução ao absurdo demonstramos que se possui pontos exteriores a qualquer círculo centrado na origem, é ilimitado.