Dada a EDO homogênea de primeira ordem y' = (x2 + 2y2)/xy, marque a alternativa que indica sua solução.

Olá!

A EDO \(y'\:=\frac{x^2+2y^2}{xy}\) é uma EDO de primeira ordem de Bernoulli. Sua fórmula geral é: \(y'+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^n\). 

Desta forma, observe que, reescrevendo a EDO, encontramos que:

\(p\left(x\right)=-\frac{2}{x},\:\quad q\left(x\right)=x,\:\quad n=-1\)

Ou seja:

\(y'\:-\frac{2}{x}y=xy^{-1}\)

A solução desta EDO é obtida sustituindo \(v=y^{1-n}\) e resolvendo \(\frac{1}{1-n}v'+p\left(x\right)v=q\left(x\right)\). Transformando a equação nesta forma, obtemos que:

\(\frac{ν'\left(x\right)}{2}-\frac{2ν\left(x\right)}{x}=x\)

Observe que esta é uma EDO de primeira ordem linear. Sua solução é:

\(ν\left(x\right)=-x^2+x^4c_1\)

Agora, voltaremos com: \(ν\left(x\right)=y^2\), e chegamos em: \(y^2=-x^2+x^4c_1\).

Por fim, resolvendo para y, teremos:

\(y=-x\sqrt{c_1x^2-1},\:y=x\sqrt{c_1x^2-1}\)

E esta é a resposta deste exercício.