como calcular o limite de x tende ao + infinito = 1/(raiz de x² +1) -x

lim(x)= 1/(raiz de x² +1) 

x→+∞

lim(x)= 1/x(raiz de 1) 

x→+∞

lim(x)= 1/x

x→+∞

lim(x)= 0

x→+∞

tem um -x no denominador na (raiz de x² +1) - x

Seja :

\(\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)-x}\right)\)

Vamos racionalizar :

\(\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{1}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)-x}\right).\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}\)

\(=\frac{1\cdot \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}\)

\(1\cdot \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\sqrt{x^2+1}+x\\ \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1\)

Assim:

\(\frac{1\cdot \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}=\sqrt{x^2+1}+x\)

O limite fica:

\(\lim _{x\to +\infty }\sqrt{x^2+1}+x\)

\(\lim _{x\to \infty \:}\left(\sqrt{x^2+1}\right)=\infty \:\)   e 

\(\lim _{x\to \infty \:}\left(x\right)=\infty \:\)

Assim:

\(\boxed{\lim _{x\to +\infty }\sqrt{x^2+1}+x=\infty \:+\infty \:=\infty }\)