COMO FAZER O CALCULO DE TAXAS DE CRESCIMENTO E DECAIMENTO UTILIZANDO DERIVADAS DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS?

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As leis de crescimento e decaimento são utilizadas quando há uma situação em que a taxa de crescimento ou decrescimento da quantidade de pessoas ou substâncias, por exemplo, é proporcional à quantidade presente em qualquer instante dado. Em outras palavras, essas leis são usadas quando há variação proporcional da quantidade de algo no decorrer do tempo. Em tais casos, podemos representar o tempo por unidades e a quantidade em qualquer instante por unidades.

Portanto, para representar essa variação proporcional no tempo de algo em função de sua quantidade, podemos dizer que:

Onde é uma constante e para qualquer . Se a quantidade cresce com o aumento de , então e temos a lei de crescimento. Caso contrário, se a quantidade diminui com o passar do tempo, então e temos a lei do decaimento.

Se rearranjarmos a equação e integrarmos de ambos os lados, teremos:

Tomando e considerando que para existe uma quantidade inicial :

Portanto, se em qualquer problema, nos depararmos com uma quantidade que cresce ou decresce com o passar do tempo, proporcionalmente à sua quantidade restante, podemos usar a equação . O problema em questão fala sobre uma quantidade de açúcar que é dissolvida a uma taxa proporcional, portanto sua quantidade vai diminuindo com o tempo. Assim, sabemos que se trata de uma situação de decaimento.

A quantidade inicial de açúcar é e a taxa é desconhecida. Mas se substituirmos os dados em , onde na equação temos:

Assim, a equação geral do decaimento pode ser escrita como:

Agora que sabemos a constante , podemos encontrar qualquer quantidade e quanto tempo demorará para chegar nessa quantidade. Para que 90% do açúcar seja dissolvido, significa que devem restar apenas 10% de açúcar da quantidade inicial, ou seja . Substituindo essa informação na equação temos:

Ou seja, para que os 50Kg de açúcar sejam 90% dissolvidos, precisam-se de aproximadamente 12,565 horas. Como já se passaram 5 horas desde o início do processo, faltam horas para que isso ocorra, como mostra a figura 1:

Figura 1 – Gráfico da função de decaimento.

Portanto, para que 90% do açúcar seja dissolvido, levará .

Referências:

Figura 1 – Autoria própria.

As leis de crescimento e decaimento são utilizadas quando há uma situação em que a taxa de crescimento ou decrescimento da quantidade de pessoas ou substâncias, por exemplo, é proporcional à quantidade presente em qualquer instante dado. Em outras palavras, essas leis são usadas quando há variação proporcional da quantidade de algo no decorrer do tempo. Em tais casos, podemos representar o tempo por unidades e a quantidade em qualquer instante por unidades.

Portanto, para representar essa variação proporcional no tempo de algo em função de sua quantidade, podemos dizer que:

Onde é uma constante e para qualquer . Se a quantidade cresce com o aumento de , então e temos a lei de crescimento. Caso contrário, se a quantidade diminui com o passar do tempo, então e temos a lei do decaimento.

Se rearranjarmos a equação e integrarmos de ambos os lados, teremos:

Tomando e considerando que para existe uma quantidade inicial :

Portanto, se em qualquer problema, nos depararmos com uma quantidade que cresce ou decresce com o passar do tempo, proporcionalmente à sua quantidade restante, podemos usar a equação . O problema em questão fala sobre uma quantidade de açúcar que é dissolvida a uma taxa proporcional, portanto sua quantidade vai diminuindo com o tempo. Assim, sabemos que se trata de uma situação de decaimento.

A quantidade inicial de açúcar é e a taxa é desconhecida. Mas se substituirmos os dados em , onde na equação temos:

Assim, a equação geral do decaimento pode ser escrita como:

Agora que sabemos a constante , podemos encontrar qualquer quantidade e quanto tempo demorará para chegar nessa quantidade. Para que 90% do açúcar seja dissolvido, significa que devem restar apenas 10% de açúcar da quantidade inicial, ou seja . Substituindo essa informação na equação temos:

Ou seja, para que os 50Kg de açúcar sejam 90% dissolvidos, precisam-se de aproximadamente 12,565 horas. Como já se passaram 5 horas desde o início do processo, faltam horas para que isso ocorra, como mostra a figura 1:

Figura 1 – Gráfico da função de decaimento.

Portanto, para que 90% do açúcar seja dissolvido, levará .

Referências:

Figura 1 – Autoria própria.