Qual a derivada da seguinte função: g(x)=3+2sen²(pi/4*x²)?

Claudio, para particionar o problema podemos usar o fato de que, a soma das derivadas é a derivada da soma. Isso quer dizer que, se vc tem uma função g(x), e duas funções que compõem essa função, vamos chamar de f(x) e h(x), então:

g'(x) = f'(x) + h'(x)

Aplicando isso ao seu problema, onde f(x) = 4 e h(x) = 2sen²(pi/4*x²)

Temos:

f'(x) = 0.

Para h'(x) temos que usar regra da cadeia, mas antes vou escrever a expressão de uma outra forma

(sen(pi/4*x²))²

Agora, derivando

O primeiro passo é derivar da seguinte forma, deriva a expressão como se sen(pi/4*x²) fosse uma variavel que está sendo elevada ao quadrado, ou seja, simplesmente 2(sen(pi/4*x²)), mas ainda não acabou, agora derivamos o que está dentro dos parenteses, ou seja, (sen(pi/4*x²)), a derivada do seno é o cosseno, e o argumento que está dentro do seno, vai sair a derivada dele, ou seja:

(pi/4x²)' = (pi/4)*(-2/x³)

Logo,

g'(x) = 4(sen(pi/4*x²))*(cos(pi/4*x²))* (pi/4)*(-2/x³)

Ou, de uma outra forma,

g'(x) = (-1/x³) (sen(pi/2x²))

Muito obrigado