Por meio de transformações geométricas, reduza a equação abaixo a sua forma simples. 3x^2+4xy+y^2- 2x -1 =0 (hipérbole)

Inicialmente determinaremos o centro dessa hipérbole tal que a translação pelo vetor elimina os termos lineares. Para uma equação geral do segundo grau dada por

sua solução é da forma:

Logo, para a equação da curva dada

obtemos o seguinte sistema:

Resolvendo o sistema, obtemos a solução

Assim,

E, portanto, a nova curva transladada será:

Em seguida, só resta fazer a rotação da curva. Para isso precisamos encontrar

para eliminar os termos quadráticos, em que

Para a questão,

Logo, encontramos e, portanto, a equação transladada e rotacionada é:

A imagem abaixo ilustra o procedimento:

Figura 1. Translação e rotação.

Portanto, a equação da hipérbole é .

Inicialmente determinaremos o centro dessa hipérbole tal que a translação pelo vetor elimina os termos lineares. Para uma equação geral do segundo grau dada por

sua solução é da forma:

Logo, para a equação da curva dada

obtemos o seguinte sistema:

Resolvendo o sistema, obtemos a solução

Assim,

E, portanto, a nova curva transladada será:

Em seguida, só resta fazer a rotação da curva. Para isso precisamos encontrar

para eliminar os termos quadráticos, em que

Para a questão,

Logo, encontramos e, portanto, a equação transladada e rotacionada é:

A imagem abaixo ilustra o procedimento:

Figura 1. Translação e rotação.

Portanto, a equação da hipérbole é .

DX