Como saber quantas retas tangentes passam num determinado ponto da curva?
No capítulo 10 da 5ª edição do Stewart tem um exemplo que diz:
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x=t² e y=t³-3t.
a) Mostre que C tem duas tangentes no ponto (3, 0) e encontre suas equações.
Na resolução ele mostra que y = t³-3t = t(t²-3) => para y=0, temos t(t²-3)=0, isso será verdade quando t=0 ou t= +/- raiz de 3. Eu entendi isso com tendo 3 tangentes, que seriam em t=0, t=+raiz de 3 e t=-raiz de 3. Não entendi porque ele botou como se fosse só duas tangentes.
💡 1 Resposta
Luciano Vicente
Seja F uma função contínua e P(x,F(x)) um ponto sobre a curva. Analisaremos agora, o cálculo da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva traçada por F no ponto P.
Para analisarmos esta questão, escolhemos um número pequeno, h, diferente de zero. Sobre o gráfico, marcamos o ponto Q(x+h,F(x+h)). Traçamos uma reta secante que passa pelos pontos P and Q. 
A inclinação desta reta é dada por:
Vamos fixar o ponto P, e mover Q ao longo da curva, aproximando-se de P. Ie; 
(dizemos que h tende a 0).
Note que a reta secante se aproxima a um posição limite. Desejamos que essa posição limite seja a reta tangente. Assim, caso a reta tangente à curva F no ponto P exista, mPQ também se aproxima do coeficiente angular desta reta: 
...
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